Rozłóż na czynniki: a) x^2-25 b) 8x^3+27 c) x^3+x^2-4x d) x^4-10x^2+9

a) x²-25 = (x+5) (x-5) b) 8x³+27 = (2x-3)³ c) x³+x²-4x = x (x²+x-4) d) x⁴-10x²+9 = x²(x²-10) +9

a) x²-25 skorzystamy z wzoru a²-b²=(a+b)(a-b) x²-25=x²-5²=(x+5)(x-5) b) 8x³+27=(2x)³+3³ skorzystamy z wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) (2x+3)[(2x)²-2x*3+3²]=(2x+3)(4x²-6x+9) dla 4x²-6x+9 obliczamy Δ=b²-4ac=(-6)²-4*4*9=36-144<0 brak pierwiastków c) x³+x²-4x=x(x²+x-4) dla x²+x-4 obliczamy Δ=b²-4ac=1²-4*1*(-4)=1+16=17 √Δ=√17 x1=(-b+√Δ)/2a=(-1+√17)/2 x2=(-b-√Δ)/2a=(-1-√17)/2 ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) zatem x²+x-4 = (x-(-1+√17)/2)(x-(-1-√17)/2)=(x+(1-√17)/2)(x+(1+√17)/2) ostatecznie x³+x²-4x=x(x+(1-√17)/2)(x+(1+√17)/2) d) x^4-10x^2+9 przyjmujemy, że x²=y, gdzie y>0 otrzymujemy y²-10y+9 Δ=b²-4ac=(-10)²-4*1*9=100-36=64 √Δ=√64=8 y1=(10+8)/2=9 y2=(10-8)/2=1 dla y1=9 x²=9: x1=3, x2=-3 (wyniki potwierdzają rozwiązanie) dla y2=1 x²=1: x1=1, x2=-1 y²-10y+9=(y-9)(y-1) x^4-10x^2+9=(x²-9)(x²-1)=(x-3)(x+3)(x-1)(x+1) <--zgodne z powyższymi obliczeniami