1.Wykaż,że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to liczba postaci x⁶-x⁴-x²+1 jest podzielna przez 32. 2.Wiadomo,że x+y+2=0.Udowodnij,że wartość wyrażenia x²+y²+x×y-4 jest najmniejsza dla x=y=-1.

1.x jest liczbą całkowitą nieparzystą, czyli możemy ją zapisać x = 2n+ 1 {gdzie n∈C, n należy do całkowitych} dana jest liczba x⁶ - x⁴ - x² + 1 można ją zapisać w postaci iloczynowej x⁴(x²- 1) - (x²- 1) = (x⁴- 1)(x²- 1)= (x²- 1)(x² + 1)(x²- 1)= (x- 1)(x+ 1)(x- 1)(x+ 1)(x²+ 1)= (x-1)(x-1)(x+1)(x+1)(x²+1)= {teraz za x wstawiamy 2n+1} (2n+1-1)(2n+1-1)(2n+1+1)(2n+1+1)[(2n+1)²+1]= 2n*2n*(2n+2)(2n+2)[4n²+4n+1+1]= 2n*2n*2(n+1)*2(n+1)*[4n²+4n+2]= 16*n*n*(n+1)(n+1)*2*(2n²+2n+1)= 32*n²*(n+1)²*(2n²+2n+1) jeden z czynników liczby x⁶ - x⁴ - x² + 1 to liczba 32, więc nasza liczba jest podzielna przez 32. Odp. Jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą, to liczba postaci x⁶ - x⁴ - x² + 1 jest podzielna przez 32.