ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym an= a₁*q^(n-1) {symbol ^ znaczy q do potęgi n-1} I) pierwszy wyraz ciągu geometrycznego x= a₁ drugi y= a₁q trzeci z= a₁q² (a₁q)² = a₁*a₁q² {drugi wyraz do kwadratu = pierwszy wyraz* drugi} y² = x*z II) a₁+ a₁q+ a₁q² = x+ y+ z = ¹³/₂ III) (a₁)²+ (a₁q)²+ (a₁q²)² = x²+ y²+ z² = ⁹¹/₄ Z I), II) i III) mamy układ równań, wyznaczamy x, y, z: y² = xz { x+ y+ z = ¹³/₂ { x²+ y²+ z² = ⁹¹/₄ y² = xz { x+ z = ¹³/₂ - y { x²+ xz + z² = ⁹¹/₄ y² = xz { x+ z = ¹³/₂ - y { (x+ z)²- xz = ⁹¹/₄ y² = xz { x+ z = ¹³/₂ - y { (¹³/₂ - y)²- y² = ⁹¹/₄ { do trzeciego równania wstawiamy za (x+z ) z równania drugiego(¹³/₂- y) i za xz z równania pierwszego y²} Rozwiązujemy trzecie równanie: (¹³/₂ - y)²- y² = ⁹¹/₄ {korzystamy z wzoru skróconego mnożenia} ¹⁶⁹/₄ - 13y + y² - y² = ⁹¹/₄ -13y = ⁻⁷⁸/₄ y = ³/₂ teraz obliczamy x+ z = ¹³/₂ - y = ¹³/₂ - ³/₂ = 5 i y² = xz = (³/₂)² = ⁹/₄ Mamy zatem układ równań: y = ³/₂ { x+ z = 5 { xz = ⁹/₄ teraz z drugiego równania wyznaczamy z= 5-x i wstawiamy do równania trzeciego: xz = x*(5-x) = ⁹/₄, stąd -x²+ 5x -⁹/₄ = 0 {obliczamy deltę i potem pierwiastki x₁ i x₂: delta = 25- 4*(-1)*(-⁹/₄) = 25-9 = 16, x₁= (-5-4)/-2 = ⁹/₂, x₂= (-5+4)/-2 = ¹/₂, następnie z₁= 5 - ⁹/₂= ¹/₂ i z₂= 5- ¹/₂= ⁹/₂} Mamy dwie możliwości ciągu geometrycznego: I) x= ¹/₂ y= ³/₂ z= ⁹/₂ czyli a₁ = ¹/₂, a₂= ³/₂, a₃= ⁹/₂ {a₁ = ¹/₂, q= 3} Odp.Ciąg geometryczny an= ¹/₂*3^(n-1) {jedna druga * trzy do potęgi (n-1)} II) x= ⁹/₂ y= ³/₂ z= ¹/₂ czyli a₁ = ⁹/₂, a₂= ³/₂, a₃= ¹/₂ {a₁ = ⁹/₂, q= ¹/₃} Odp. Ciąg geometryczny an= ⁹/₂*(¹/₃)^(n-1) {dziewięć drugich * jedna trzecia do potęgi (n-1)}
