Udowodnij że jeśli a) x y są liczbami rzeczywistymi to x² + y² ≥ 2xy b) x y z są liczbami rzeczywistymi takimi ze x + y + z = 1 to x² + y² + z² ≥ ⅓

a) x,y ∈R ∈-należą x²+y²≥2xy x²-2xy+y²≥0 (x-y)²≥0 b) x+y+z=1 x²+y²+z²≥¹/₃ Jeżeli za którąkolwiek z tych liter podłożymy liczbę całkowitą większą od 1 i mniejszą od -1, to powyższe równanie napewno jest prawdziwe. Szukamy więc najniższej wspólnej(aby x=y=z) kombinacji ułamkowej. Jedynym spełniającym ułamkiem jest liczba ¹/₃. Wtedy x=y=z=¹/₃. (¹/₃)²+(¹/₃)²+(¹/₃)²≥¹/₃ ¹/₉+¹/₉+¹/₉≥¹/₃ ¹/₃≥¹/₃