Niech W(x) = (x³-5x+1)^n +(x³-3x-1)^n Najpierw obliczmy tg20 * tg40 * tg80 W tym celu potrzebne będą wzory (można je znaleźć np. w tablicach matematycznych): tg(a+b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b) tg(a-b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b) tg(3a) = tg a * (3 - tg^2 a) / (1 - 3 tg^2 a) Oznaczam przez p(3) pierwiastek z 3 tg60 = p(3) Przyjmijmy: x = tg20 tg40 = tg(60 - 20) = = (tg60 - tg20) / (1 + tg60 * tg20) = = (p(3) - x) / (1+x *p(3)) tg(80) = (tg(60+20)) = = (tg60 + tg20) / (1 - tg60 * tg20) = = (p(3)+x) / (1-x*p(3)) Teraz mamy: tg20 * tg40 * tg80 = = x * (p(3)-x)/(1+xp(3)) * (p(3)+x)/(1-xp(3)) = = x * (p(3)-x)*(p(3)+x) / ((1-xp(3))*(1+xp(3))) = = x * (3 - x^2) / (1 - x^2 * 3) = = x * (3 - x^2) / (1 - 3x^2) = ... z wzoru na tg3a ... = = tg (3*20) = tg60 = p(3) Wracamy do wielomianu: chcemy, aby resztą z dzielenia W(x) była liczba: 2 / p(3) * tg20 * tg40 * tg80 = = 2 / p(3) * p(3) = 2 Czyli nasza reszta ma byc 2 Teraz zastanówmy się chwilę, co to oznacza, że W(x) ma dać przy dzieleniu przez (x-2) resztę 2 W można zapisać jako iloraz Q z dzielenia przez (x-2) oraz resztę R: W(x) = (x-2) * Q(x) + R(x) W takim zapisie należy pamiętać, że R(x) jest wielomianem, którego stopień jest mniejszy o dzielnika, czyli od (x-2) A zatem R(x) jest wielomianem o stopniu zerowym (czyli R(x) jest stałą) Mamy zatem: W(x) = (x-2) * Q(x) + C Zauważmy, że: C = W(x) - (x-2) * Q(x) My chcemy, aby zachodziło C=2, czyli: 2 = W(x) - (x-2) * Q(x) A teraz wstawmy x=2, otrzymamy: 2 = W(2) - (2-2)*Q(x) = W(2) A zatem za chwilę dostaniemy ostateczną odpowiedź na nasze pytanie... Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x-2) będzie wynosić 2, tylko wtedy, gdy W(2) = 2 Policzmy wartość W(2) W(2) = = (2³-5*2+1)^n +(2³-3*2-1)^n = = (8 - 10 + 1)^n + (8 - 6 - 1)^n = = (-1)^n + 1^n = = 1 + (-1)^n Gdy n jest parzyste, to (-1)^n = 1 i wtedy W(2) = 1 + 1 = 2 Gdy n jest nieparzyste, to (-1)^n = -1 i wtedy W(2) = 1 - 1 = 0 Zatem: W(x) daje resztę 2 z dzielenia przez (x-2) wtedy, gdy n jest liczbą parzystą!
