Monotoniczność ciągu: - Ciąg rosnący, gdy: dla każdego n∈N, an₊₁ - an > 0 - Ciąg malejący, gdy: dla każdego n∈N, an₊₁ - an < 0 a) an = 3n - 2 an₊₁ = 3 * (n + 1) - 2 = 3n + 3 - 2 = 3n + 1 an₊₁ - an = 3n + 1 - (3n - 2) = 3n + 1 - 3n + 2 = 3 > 0 Ciąg (an) jest rosnący b) an = 4 - 8n an₊₁ = 4 - 8 * (n + 1) = 4 - 8n - 8 = - 8n - 4 an₊₁ - an = - 8n - 4 - (4 - 8n) = - 8n - 4 - 4 + 8n = - 8 < 0 Ciąg (an) jest malejący c) an = ½ - 3½n an₊₁ = ½ - 3½ *(n + 1) = ½ - 3½n - 3½ = - 3½n - 3 an₊₁ - an = - 3½n - 3 - (½ - 3½n) = - 3½n - 3 - ½ + 3½n = - 3½ < 0 Ciąg (an) jest malejący d) an = 1⅓n an₊₁ = 1⅓ * (n + 1) = 1⅓n + 1⅓ an₊₁ - an = 1⅓n + 1⅓ - 1⅓n = 1⅓ > 0 Ciąg (an) jest rosnący e) an = n² an₊₁ = (n + 1)² = n² + 2n + 1 an₊₁ - an = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1 > 0 Ciąg (an) jest rosnący f) an = 3n² - 1 an₊₁ = 3 * (n + 1)² - 1 = 3 * (n² + 2n + 1) - 1 = 3n² + 6n + 3 - 1 = 3n² + 6n + 2 an₊₁ - an = 3n² + 6n + 2 - (3n² - 1) = 3n² + 6n + 2 - 3n² + 1 = 6n + 3 > 0 Ciąg (an) jest rosnący g) an = n² - ½ an₊₁ = (n + 1)² - ½ = n² + 2n + 1 - ½ = n² + 2n + ½ an₊₁ - an = n² + 2n + ½ - (n² - ½) = n² + 2n + ½ - n² + ½ = 2n + 1 > 0 Ciąg (an) jest rosnący NA SPECJALNE ŻYCZENIE ZADAJĄCEGO (bo Pani im podała inną def.) - podała tą samą, ale w podanej na początku kolejne wyrazu ciągu to an, an₊₁, natomiast można podać też dla wyrazów an₋₁, an Monotoniczność ciągu: - Ciąg rosnący, gdy: dla każdego n∈N, an - an₋₁ > 0 - Ciąg malejący, gdy: dla każdego n∈N, an - an₋₁ < 0 a) an = 3n - 2 an₋₁ = 3 * (n - 1) - 2 = 3n - 3 - 2 = 3n - 5 an - an₋₁ = 3n - 2 - (3n - 5) = 3n - 2 - 3n + 5 = 3 > 0 Ciąg (an) jest rosnący b) an = 4 - 8n an₋₁ = 4 - 8 * (n - 1) = 4 - 8n + 8 = - 8n + 12 an - an₋₁ = 4 - 8n - (- 8n + 12) = 4 - 8n + 8n - 12 = - 8 < 0 Ciąg (an) jest malejący c) an = ½ - 3½n an₋₁ = ½ - 3½ *(n - 1) = ½ - 3½n + 3½ = - 3½n + 4 an - an₋₁ = ½ - 3½n - (- 3½n + 4) = ½ - 3½n + 3½n - 4 = - 3½ < 0 Ciąg (an) jest malejący d) an = 1⅓n an₋₁ = 1⅓ * (n - 1) = 1⅓n - 1⅓ an - an₋₁ = 1⅓n - (1⅓n - 1⅓) = 1⅓n - 1⅓n + 1⅓ = 1⅓ > 0 Ciąg (an) jest rosnący e) an = n² an₋₁ = (n - 1)² = n² - 2n + 1 an - an₋₁ = n² - (n² - 2n + 1) = n² - n² + 2n - 1 = 2n - 1 > 0 Ciąg (an) jest rosnący f) an = 3n² - 1 an₋₁ = 3 * (n - 1)² - 1 = 3 * (n² - 2n + 1) - 1 = 3n² - 6n - 3 - 1 = 3n² - 6n - 4 an - an₋₁ = 3n² - 1 - (3n² - 6n - 4) = 3n² - 1 - 3n² + 6n + 4 = 6n + 3 > 0 Ciąg (an) jest rosnący g) an = n² - ½ an₋₁ = (n - 1)² - ½ = n² - 2n + 1 - ½ = n² - 2n + ½ an - an₋₁ = n² - ½ - (n² - 2n + ½) = n² - ½ - n² + 2n - ½ = 2n - 1 > 0 Ciąg (an) jest rosnący
