Wykaż, że równanie 5x⁴ - 4x² + √3 - 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki

5x⁴ - 4x² + √3 - 1 = 0 x²=t 5t² - 4t + √3 - 1 = 0 Δ= b²-4ac = 16 - 20(√3 - 1) = 16 - 20√3 + 20 = 36 - 20√3 √Δ=√(36 - 20√3) <--- ten cały nawias jest pod pierwiastkiem t₁= -b + √Δ / 2a = 4 + √(36 - 20√3) / 10 = 0,4 + 0,1√(36 - 20√3) = = 0,4 + 0,2√(9-5√3) t₂= -b - √Δ / 2a = 4 - √(36 - 20√3) / 10 = 0,4 - 0,1√(36 - 20√3) = = 0,4 - 0,2√(9-5√3) x² = 0,4 + 0,2√(9-5√3) x² = 0,4 - 0,2√(9-5√3) Z jednego i drugiego równania mamy po dwa pierwiastki.

5x⁴ - 4x² + √3 - 1 = 0 t=x², t∈<0,+∞) 5t²-4x²+√3-1=0 Teraz wystarczy, ze wykazemy Δ>0 i oba t wieksze od 0, czyli t1t2>0 ∧ t1+t2>0 Δ>0 16-4*5(√3-1)=16-20√3+20=36-20√3 20√3≈34,5, czyli 36-20√3>0 warunek spelniony t1t2>0 (√3-1)/5>0, a √3-1>0 warunek spelniony t1+t2>0 4/5>0 warunek spelniony Czyli rownanie ma 4 rozne pierwiastki, cbdu.