Sprawdź, czy prawdziwa jest następująca tożsamość, podaj konieczne założenia. sin2α/(1+cos2α)===tgα 2sinα*cosα/1+2cos²α-1=tgα 2sinα*cosα/2cos²α=tgα sinα/cosα=tgα prawdziwa zał:1+cos2α≠0 i cosα≠0 α≠π/2 +kπ, k∈C
Korzystamy z wzorów: sin2α =2 sinα cosα cos2α = cos²α - sin²α zatem [sin2α]/[1 +cos2α] = [2sinα cosα] / [1 + cos²α - sin²α] = = ]2 sinα cosα ] / [cos²α + cos²α] = [2 sinα cosα] / [2 cos²α ] = = sin α/ cos α = tg α Założenie : k - liczba całkowita 2α ≠k* 180⁰ czyli α ≠ k* 90⁰
Mamy uzasadnić tożsamość: lewa strona L= sin2α/(1+cos2α), prawa strona P = tgα Mianownik ułamka nie jest zerem, więc Założenie 1+ cos2α ≠ 0 {cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1} 1+ 2cos²α - 1 ≠ 0 2cos²α ≠ 0 cosα ≠ 0, α≠ π/2 + kπ {k∈C} L= sin2α/(1+cos2α) = (2sinαcosα)/(1+ 2cos²α - 1)= {bo sin2α = 2sinαcosα, cos2α = 2cos²α - 1} = (2sinαcosα)/(2cos²α)= sinα/cosα = tgα = P {skracamy przez 2cosα ≠ 0} Tożsamość sin2α/(1+cos2α)= tgα jest prawdziwa dla kątów α≠ π/2 + kπ {k∈C}.
