Wyznacz n-ty wyraz oraz sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), mając dany jego pierwszy wyraz a1, różnicę r oraz n, gdy: a1 = 2, r = 3, n = 9 (an)=a1 +(n-1)r (an)=2 +(9-1)*3 (an)=2 +(8)*3 (an)=2 +24 (an)=26 Sn=(a1+an)/2 * n Sn=(2+26)/2 * 9 Sn=(28)/2 * 9 Sn=14 * 9 Sn=126 a1 = -3, r = -2, n = 13 (an)=a1 +(n-1)r (an)=-3 +(13-1)*(-2) (an)=-3 +(12)*(-2) (an)=-3 -24 (an)=-27 Sn=(a1+an)/2 * n Sn=(-3-27)/2 *13 Sn=(-30)/2 * 13 Sn=-15 * 13 Sn=-195
Ciąg arytmetyczny to taki, w którym różnica każdych dwu kolejnych wyrazów wynosi r. dla dowolnego n ∈ N zachodzi an + r = a(n+1) stąd prosto wyprowadzić wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an = a1 + (n-1)r (skoro każde kolejne dwa wyrazy różnią się o r to: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 3r ... an = a(n-1) + (n-1)r ) Wzór ogólny na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego też jest prosty do znalezienia: S1 = a1 S2 = a1 + a2 = S1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = S3 + a4 ... Sn = S(n-1) + an zatem: S1 = a1 S2 = a1 + a2 = a1 + a1 + r = 2a1 + r S3 = S2 + a3 = 2a1 + r + a1 + 2r = 3a1 + 3r Nie widać stąd za bardzo jak miałby wyglądać wzór ogólny (jak to było w wypadku n-tego wyrazu c. arytm). Spróbujmy więc inaczej: jest n wyrazów Sn = a1 + a2 + a3 + .. + an Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + .. + (a1 + (n-1)r) wyciągnijmy wszystkie a1, których jest n-sztuk Sn = n * a1 + (r + 2r + ... + (n-1)r) wyciągnijmy r przed nawias: Sn = n * a1 + r(1 + 2 + ... + (n-1)) prosto zauważyć, że suma k pierwszych liczb naturalnych wynosi dokładnie tyle, co k [ilość tych liczb] * (1 + k)/2 [średnia z tych liczb], stąd wzór wynosi: k(k + 1)/2 dla k = n-1: (n-1)n/2 zatem: Sn = n * a1 + r * n * (n - 1) / 2 obliczenie odpowiednich wartości pozostawiam zadającemu.
