trzy liczby, których suma jest równa 168, tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są jednocześnie pierwszym, piątym i dwudziestym pierwszym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby

x, y, z −−−− tworzą ciąg geom to: y2 = x*z i x+y +z = 168 oraz: a1 = x a5 = y a20= z to: a1 + 4r = y i a1 + 20r = z zatem: 3a1 + 24r = 168 => a1 +8r = 56 => a 1 = 56 − 8r i ( a1 +4r)2 = a1( a1 +20r) ( 56 − 4r)2 = ( 56 −8r)( 56 +12r) 16( 14 −r)2 = 16( 14 −2r)(14 +3r) 196 − 28r +r2 = 196 +14r − 6r2 7r2 −42r =0 => r2 −6 r =0 => r = 0 v r = 6 to a1 = 56 v a1 = 8 więc: x =56 y = 56 z = 56 lub x = 8 y = 32 z = 128

Ułóż sobie równania N a1, a2,...,an − ciąg arytmetyczny czyli : ak = a1 + (k−1)*r dla każdego k∊N+ i dla stałego r. Niech b1, b2, ... , bn − ciąg geometryczny bk = b1*qk−1 dla każdego k∊N+ i dla stałego q. wiemy ze a1 = b1 a wygląda to tak : b1 + b2 + b3 = 168 a1 + a5 + a21 = 168 b2 = a5 co po przekształceniu da nam cos podobnego: a1 + a1*q + a1*q2 = 168 a1 + a1 + 4*r + a1 + 20*r = 168 a1*q = a1 + 4*r Masz więc : a1(q2 + q + 1)= 168 3*a1 + 24*r = 168 a1*q = a1+4*r Zatem: a1(q2 + q + 1)= 168 a1 + 8*r = 56 a1*q = a1 + 4*r Stąd: a1(q2 + q + 1)= 168 a1 + 8*r = 56 (a1*q−a1)/4 = r; Więc: a1(q2 + q + 1)= 168 a1 + 2*(a1*q−a1) = 56 (a1*q−a1)/4 = r; Dalej: a1(q2 + q + 1)= 168 2*a1*q −a1 = 56 (a1*q−a1)/4 = r;