I) Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazach a, b, 1, więc z własności różnicy kolejnych wyrazów tego ciągu mamy: b- a= 1- b 2b= a+ 1/:2 stąd b= ½a+ ½ II) Liczby a, b, a+ b+ 1 tworzą ciąg geometryczny, stąd mamy proporcję: b/a= (a+b+1)/b {za b wstawiamy ½a+ ½ } (½a+ ½)/a= (a+ ½a+ ½ + 1)/(½a+ ½) (½a+ ½)/a= (³/₂a+ ³/₂)/(½a+ ½) {iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych} (½a+ ½)²= a*(³/₂a+ ³/₂) ¼a²+ ½a+ ¼= ³/₂a²+ ³/₂a /*4 a²+ 2a+ 1= 6a²+ 6a 5a²+ 4a- 1= 0 {rozwiązujemy równanie kwadratowe} Δ= 4²- 4*5*(-1)= 16+ 20= 36 √Δ= √36= 6 a) a₁= (⁻⁴⁺⁶)/₁₀ = ²/₁₀ = ⅕, więc b₁= ½a₁+ ½= ½*⅕+ ½= ⅗ b) a₂= (⁻⁴⁻⁶)/₁₀ = ⁻¹⁰/₁₀ = -1, więc b₂= ½a₁+ ½= ½*(-1)+ ½= 0 III) a) Liczby a= ⅕, b= ⅗, 1 tworzą ciąg arytmetyczny {a₁= ⅕ i r= ⅖} liczby a= ⅕, b= ⅗, a+ b+ 1= ⅕+ ⅗+ 1= ⁹/₅ tworzą ciąg geometryczny {a₁= ⅕ i q= 3} b) Liczby a= -1, b= 0, 1tworzą ciąg arytmetyczny {a₁= -1 i r= 1} ale liczby a= -1, b= 0, a+ b+ 1= -1+ 0+ 1= 0 nie tworzą ciągu geometrycznego Odp. Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego to: ⅕, ⅗, ⁹/₅.
