²²²a₃ =5 a₁,a₂,a₃,a₄,a₅ - ciąg arytmetyczny, a₁,a₅,a₅ - ciąg geometryczny, a₂/a₁ = a₅/a₅ (a₁+r)/a₁ = (a₁+4r)/(a₁+r) a₁*(a₁+4r) = (a₁+r)² a₁+2r= 5 a₁ = 5-2r (5-2r)*(5-2r+4r)=(5-2r+r)² (5-2r)*(5+2r)=(5-r)² 25-4r² = 25 - 10r + r² 5r²- 10r= 0 5r(r-2) = 0 r=0 ∨ r = 2 a₁ = 5 ∨ a₁ = 1 a₂ = 5 ∨ a₂ = 3 a₅ = 5 ∨ a₅ = 9
I) Dany jest pięciowyrazowy ciąg arytmetyczny: a₁ {gdzie wyraz środkowy a₃ jest równy 5} a₂= a₁+ r a₃= a₁+ 2r= 5 a₄= a₁+ 3r a₅= a₁+4r II) a₁, a₂= a₁+ r i a₅= a₁+4r te wyrazy ciągu arytmetycznego wyznaczają ciąg geometryczny, stąd mamy proporcję: a₂/a₁= a₅/a₂ (a₁+ r)/a₁= (a₁+ 4r)/(a₁+ r) (a₁+ r)²= a₁(a₁+ 4r) {iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych} a₁²+ 2a₁r+ r²= a₁²+ 4a₁r 2a₁r+ r²- 4a₁r= 0 r²- 2a₁r= 0 r(r- 2a₁)= 0 {r- 2a₁= 0 lub r= 0} r- 2a₁= 0, stąd r= 2a₁ oraz a₁+ 2r= 5 a₁+ 2*2a₁ = 5, 5a₁= 5, a₁= 1 r= 2a₁ = 2*1= 2 dla r= 0 mamy a₁+ 2*0= 5, a₁= 5 ciąg arytmetyczny jest stały 5, 5, 5, 5, 5 III) Wyrazy ciągu geometrycznego dla a₁= 1 i r= 2: a₁= 1, a₂= a₁+ r= 1+ 2= 3 i a₅= a₁+4r= 1+ 4*2= 9 Wyrazy ciągu geometrycznego dla a₁= 5 i r= 0: a₁= 5, a₂= a₁+ r= 5+ 0= 5 i a₅= a₁+4r= 5+ 4*0= 5 Spr. ciąg arytmetyczny: 1, 3, 5, 7, 9 ciąg geometryczny: 1, 3, 9 lub ciąg arytmetyczny stały : 5, 5, 5, 5, 5 ciąg geometryczny stały: 5, 5, 5 Odp. Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego to: 1, 3 i 9 lub 5, 5, 5.
