1. oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu którego przekątna ma długość 10 cm.
2. pole powierzchni bocznej wlaca wynosi 628 cm2 a pole powierzchni całkowitej 1256 cm2. oblicz objętość tego walca.
zad.1
D=10cm
Z twierdzenia pitagorasa:
a²+d²=D²
Z własności trójkąta 45st, 45st, 90st. ( bądź wzoru na przekątną kwadratu):
d=a√2
czyli zastępujemy d i wychodzi:
a²+(a√2)²=D²
a²+2a²=D²
3a²=D²
Wyliczmy z tego a (w zależności od D, które mamy dane)
3a²=D² /:3
a²=D²/3
a=√(D²/3)
czyli a wynosi:
a=√(10/3)
Wzór na pole powierzchni sześcianu to:
P=6a², gdzie a to dł. boku
Czyli pole powierzchni wynosi:
P=6×[√(10/3)]²=6×10/3=20 [cm²]
zad.2
628 cm2-pole powierzchni bocznej
1256 cm2- pole powierzchni całkowitej
Czyli pole powierzchni samych podstwa wynosi:
1256 cm²-628cm²=628 cm²
Wzór na objętośc walca to:
V=(pole podstawy)×H pole podstawy=P
V=P×H
Wiemy że pole obu podstaw to 628cm², możemy wyliczyć więc P:
2P=628cm² /:2
P=314cm²
Wzór na pole boczne to:
P₃=H×(obwód podstawy)
obwód podstawy=Obw.=2πr, gdzie r to promień podstawy
P₃=H×2πr
Wzór na pole podstawy(jednej) to:
P=πr², gdzie r to promień podstawy
Z tego wzrou wyliczymy wartość promienia podstawy:
2P=2πr²=628 cm²
2πr²=628 cm² /:2π
r²=314/π
r=√(314/π)
Wartość promienia podstawiamy do wzoru na P₂
P₃=H×2πr
P₃=H×2π×√((314/π))
Wiemy że P₂ (pole boczne) wynosi 628cm², więc:
628cm²=H×2π×√((314/π))
Wyliczamy H:
628cm²=H×2π×√((314/π)) /:2π×√((314/π))
H=314/(π×√(314/π))
Po uproszczeniu
H=√(314/π)
Ostatecznie objętość wynosi:
V=P×H=314cm²×√(314/π)cm=314√(314/π) cm³
