Znając współrzędne środków okręgów i długość ich promieni obliczając odległość między środkami obu okręgów oraz sumę i różnicę długości ich promieni, możemy na podstawie zależności między tymi wielkościami określić wzajemne położenie tych okręgów, czyli ustalić liczbę punktów wspólnych (patrz załącznik). Zał.: R > 0 i r > 0 (liczby R i r określają długość promieni, więc muszą być dodatnie) ==================== a) O = (- 3; 0), R = 5 S = (4; 0), r [latex]|OS| = sqrt{(4-(-3))^2+(0-0)^2}=sqrt{(4+3)^2}=sqrt{7^2}=7 \\ R+ r = 5+r \\ |R - r| =|5-r|[/latex] 1. Okręgi mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się), gdy |OS| = 0 i R = r |OS| = 7 ≠ 0, więc dane okręgi nie są okręgami pokrywającymi się 2. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są współśrodkowe, czyli gdy |OS| = 0 |OS| = 7 ≠ 0, więc okręgi nie są współśrodkowe. 3. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są rozłączne: a) zewnętrznie [latex]|OS| extgreater R+r \ 7 extgreater 5+r \ 5+r extless 7 \ r extless 7-5 \ r extless 2 \ r extless 2 wedge r extgreater 0 \ Zatem: 0 extless r extless 2, czyli r in (0; 2)[/latex] Okręgi są rozłączne zewnętrznie, czyli nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 2). b) wewnętrznie [latex]|OS| extless |R - r| \ 7 extless |5 - r| \ |5-r| extgreater 7 \ 5 - r extgreater 7 vee 5 - r extless - 7 \ - r extgreater 7 - 5 vee - r extless - 7 - 5 \ - r extgreater 2 / cdot (-1) vee - r extless - 12 / cdot (-1) \ r extless - 2 vee r extgreater 12 \ (r extless - 2 vee r extgreater 12) wedge r extgreater 0 \ Zatem: r extgreater 12, czyli r in (12; + infty)[/latex] Okręgi są rozłączne wewnętrznie, czyli nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (12; +∞). 4. Okręgi mają jeden punkt wspólny, gdy są styczne: a) zewnętrznie [latex]|OS| = R+r \ 7 = 5+r \ 5+r = 7 \ r = 7-5 \ r = 2 \ r =2 wedge r extgreater 0 \ Zatem: r = 2[/latex] Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny dla r = 2. b) wewnętrznie [latex]|OS| = |R - r| \ 7 = |5 - r| \ |5-r| =7 \ 5 - r = 7 vee 5 - r =- 7 \ - r =7 - 5 vee - r = - 7 - 5 \ - r =2 / cdot (-1) vee - r = - 12 / cdot (-1) \ r = - 2 vee r = 12 \ (r = - 2 vee r =12) wedge r extgreater 0 \ Zatem: r =12[/latex] Okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny dla r = 12. 5. Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy przecinają się. [latex]|R - r| extless |OS| extless R + r \ |R - r| extless |OS| wedge |OS| extless R + r \ |5 - r| extless 7 wedge 7 extless 5+r \ 5 - r extless 7 wedge 5 - r extgreater - 7 wedge 5 + r extgreater 7 \ - r extless 7 - 5 wedge - r extgreater - 7 - 5 wedge r extgreater 7 - 5 \ - r extless 2 / cdot (-1) wedge - r extgreater -12 wedge r extgreater 2 \ r extgreater -2 wedge r extless 12 wedge r extgreater 2 \ (r extless 12 wedge r extgreater 2) wedge r extgreater 0 \ Zatem: 2 extless r extless 12, czyli r in (2; 12)[/latex] Okręgi mają dwa punkty wspólne, czyli przecinają się w dwóch punktach dla r ∈ (2; 12) Podsumowując, dane okręgi: - nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 2) i dla r ∈ (12; +∞), - mają jeden punkt wspólny dla r = 2 i dla r = 12, - mają dwa punkty wspólne dla r ∈ (2; 12). ==================== b) O = (2; 0), R = 4 S = (2; - 1), r [latex]|OS| = sqrt{(2-2)^2+(-1-0)^2}=sqrt{0^2+(-1)^2}=sqrt{1}=1 \\ R+ r = 4+r \\ |R - r| =|4-r|[/latex] 1. Okręgi mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (pokrywają się), gdy |OS| = 0 i R = r |OS| = 1 ≠ 0, więc dane okręgi nie są okręgami pokrywającymi się. 2. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są współśrodkowe, czyli gdy |OS| = 0 |OS| = 1 ≠ 0, więc okręgi nie są współśrodkowe. 3. Okręgi nie mają punktów wspólnych, gdy są rozłączne: a) zewnętrznie [latex]|OS| extgreater R+r \ 1 extgreater 4+r \ 4+r extless 1 \ r extless 1-4 \ r extless -3 \ r extless -3 wedge r extgreater 0 \ Zatem: r in emptyset[/latex] Nie istnieje taka wartość r, dla której okręgi byłby rozłączne zewnętrznie b) wewnętrznie [latex]|OS| extless |R - r| \ 1 extless |4 - r| \ |4-r| extgreater 1 \ 4 - r extgreater 1 vee 4 - r extless - 1 \ - r extgreater 1 - 4 vee - r extless - 1 - 4 \ - r extgreater -3 / cdot (-1) vee - r extless - 5 / cdot (-1) \ r extless 3 vee r extgreater 5 \ (r extless 3 vee r extgreater 5) wedge r extgreater 0[/latex] [latex]Zatem: 0 extless r extless 3 vee r extgreater 5, czyli r in (0; 3) cup (5; +infty)[/latex] Okręgi są rozłączne wewnętrznie, czyli nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 3) ∪ (5; +∞). 4. Okręgi mają jeden punkt wspólny, gdy są styczne: a) zewnętrznie [latex]|OS| = R+r \ 1 = 4+r \ 4+r = 1 \ r = 1-4 \ r = -3 \ r =-3 wedge r extgreater 0 \ Zatem: r in emptyset[/latex] Nie istnieje taka wartość r, dla której okręgi byłyby styczne zewnętrznie. b) wewnętrznie [latex]|OS| = |R - r| \ 1 = |4 - r| \ |4-r| =1 \ 4 - r = 1 vee 4 - r =- 1 \ - r =1 - 4 vee - r = - 1 - 4 \ - r =-3 / cdot (-1) vee - r = - 5 / cdot (-1) \ r = 3 vee r = 5 \ (r = 3 vee r =5) wedge r extgreater 0 \ Zatem: r =3 wedge r =5[/latex] Okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny dla r = 3 i r = 5. 5. Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy przecinają się. [latex]|R - r| extless |OS| extless R + r \ |R - r| extless |OS| wedge |OS| extless R + r \ |4 - r| extless 1 wedge 1 extless 4+r \ 4 - r extless 1 wedge 4 - r extgreater - 1 wedge 4 + r extgreater 1 \ - r extless 1 - 4 wedge - r extgreater - 1 - 4 wedge r extgreater 1 - 4 \ - r extless -3 / cdot (-1) wedge - r extgreater -5 wedge r extgreater -3[/latex] [latex]r extgreater 3 wedge r extless 5 wedge r extgreater -3 \ (r extgreater 3 wedge r extless 5) wedge r extgreater 0 \ Zatem: 3 extless r extless 5, czyli r in (3; 5)[/latex] Okręgi mają dwa punkty wspólne, czyli przecinają się w dwóch punktach dla r ∈ (3; 5) Podsumowując, dane okręgi: - nie mają punktów wspólnych dla r ∈ (0; 3) ∪ (5; +∞), - mają jeden punkt wspólny dla r = 3 i r = 5, - mają dwa punkty wspólne dla r ∈ (3; 5).
