I przyprostokątna a II przyprostokątna b suma przyprostokątnych a+ b przeciwprostokątna (a+ b)- 4 {jest o 4 mniejsza od sumy przyprostokątnych} obwód trójkąta a+b+a+b-4= 2a+ 2b- 4 jest równy 30, więc równanie 2a+ 2b- 4= 30 i korzystamy z tw. Pitagorasa a²+ b²= (a+b-4)² Mamy układ równań: 2a+ 2b- 4= 30/:2 { a²+ b²= (a+b-4)² a+b-2=15 { a²+ b²= (a+b)²- 8(a+b)+ 16 a+ b=17 { a²+ b²= a²+ 2ab+ b²- 8a- 8b+ 16 a+ b=17 { 2ab- 8a- 8b+ 16= 0/:2 a+ b=17 { ab- 4a- 4b+ 8= 0/:2 a= 17- b { (17-b)*b- 4*(17-b)- 4b+ 8 = 0 {rozwiązujemy} 17b- b²- 68+ 4b- 4b+ 8= 0 -b²+ 17b- 60= 0 Δ= 17²- 4*(-1)*(-60)= 289- 40= 49 √Δ= √49= 7 b₁= (-17-7)/(-2)= -24/(-2)= 12 lub b₂=(-17+7)/(-2)= -10/(-2)= 5 a= 17- b b₁= 17- 12= 5 lub b₂= 17- 5= 12 I przyprostokątna 5, II przyprostokątna 12 przeciwprostokątna 30- 5- 12= 13 Spr. 5²+ 12²= 25+ 144= 169= 13² 5+12= 17, 17- 13= 4 Odp. Boki trójkąta prostokątnego są równe 5, 12, 13.
I przyprostokątna - x II przyprostokątna - y przeciwprostokątna - (x+y)-4 = x+y-4 x+y+x+y-4 = 30 x²+y² = (x+y-4)² 2x+2y = 34 |:2 x²+y² = x²+xy-4x+xy+y²-4y-4x-4y+16 x+y = 17 0 = 2xy-8x-8y+16 y = 17-x -16 = 2xy-8x-8y |:2 y = 17-x xy-4x-4y = -8 y = 17-x x(17-x)-4x-4(17-x) = -8 y = 17-x 17x-x²-4x-68+4x = -8 y = 17-x 17x-x² = -8+68 y = 17-x -x²+17x = 60 y = 17-x -x²+17x-60 = 0 do drugiego równania: Δ = 17²-(4*-1*-60) Δ = 289-240 Δ = 49 x₁ = (-17-√49):(2*-1) x₁ = (-17-7):(-2) x₁ = -24:(-2) x₁ = 12 x₂ = (-17+√49):(-2) x₂ = (-17+7):(-2) x₂ = -10:(-2) x₂ = 5 y₁ = 17-12 y₂ = 17-5 y₁ = 5 y₂ = 12 I przyprostokątna - 12 lub 5 II przyprostokątna - 5 lub 12 przeciwprostokątna - 12+5-4 = 17-4 = 13
a - jedna przyprostokątna b - druga przyprostokątna c - przezeciw prostokątna a + b + c = 30 a + b - 4 = c a + b + a + b - 4 = 30 2a + 2b = 30 + 4 2(a + b) = 34 a + b =34/2 = 17 wstawiamy do pierwszego równania a + b + c = 30 17 + c = 30 c = 30 - 17 = 13 a² + b² = 13² a + b = 17 wyliczamy a = 17 - b i wstawiamy do pierwszego równania (17 - b)² + b² = 169 289 - 34b + b² + b² = 169 2b² - 34b + 120 = 0 b² - 17b + 60 = 0 Δ = 289 - 240 = 49 √Δ = √49 = 7 b1 = (17 - 7)/2 = 10/2 = 5 b2 = (17 + 7)/2 = 24/2 = 12 a1 = 17 - b1 = 17 - 5 = 12 a2 = 17 - b2 = 17 - 12 = 5 są dwie odpowiedzi a1 = 12 , b1 = 5 , c = 13 lub a2 = 5 , b2 = 12 , c = 13
