1 an=a1+(n-1)*r a14=-5+(14-1)*3 a14=-5+13*3 a14=34 Sn=(a1+an)/2*n S14=(-5+34)/2*14 S14=29*7 S14=203 2 a)an=8n+3 an+1-an=8(n+1)+3-8n-3=8n+8+3-8n-3=8 jest c. arytmetycznym, bo ma stałą różnicę r=8 b) an+1-an=(n+1)²+(n+1)+2-n²-n-2=n ²+2n+1+n+3-n ²-n-2=2n-2 nie jest ciągiem arytmetycznym 3 an=-1/5n+2/7 an+1-an=-1/5(n+1)+2/7-(-1/5n+2/7)=-1/5 n-1/5+2/7+1/5n-2/7=-1/5<0 malejący ciąg 4 a6=20 a10=4 a10-a6=4r 4-20=4r -16=4r r=-4 a6=a1+5r 20=a1+5*(-4) 20=a1-20 a1=40 6 28;a;b;52 52=28+3r 3r=52-28 3r=24 r=8 a=28+8=36 b=36+8=44 7 2+5+8+,,,+x=126 a1=2 r=3 x=an Sn=(2a1+(n-1)*r)/2 *n 126=(4+(n-1)*3)/2 *n /*2 252=(4+3n-3)*n 3n ² + n -252=0 n∈N+ Δ=1+3024=3025 √Δ=55 n=-56/6 odpada n=9 x=a9=2+8*3=26 x=26
1. Oblicz n-ty wyraz oraz sumę n poczatkowych wyrazów c. arytmetycznego, w którym: a1 = -5, r = 3, n = 14 Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arttmetycznego a(n) = a1+ (n-1)*r a14 = -5 + (14-1)*3 a14 = -5 +13*3 a14 = -5 + 39 a14 = 34 Korzystam ze wzoru na sumę n wyrazów ciagu arytmetycznego: S(n) = (a1 + an):2 *n S14 = (a1 + a14) :2 *14 S14 = ( -5 + 34) : 2 *14 S14 = 29 *7 S14 = 203 2. Zbadaj czy ciąg a) an = 8n +3 b) an = n² + n +2 jest ciagiem arytmetycznym Aby zbadać czy ciag jest ciagiem arytmetycznym nalezy obliczyć wyraz nastepny i sprawdzić , czy różnica a(n+1) - a(n) jest stała ( jest liczbą ) r = a(n+1) - a(n) a) a(n) = 8n +3 wyrazem następnym jest a(n+1) = 8(n +1) +3 w miejsce n wstawiia się (n+1) a(n+1) = 8(n +1) +3 a(n+1) = 8n +8 +3 a(n+1) = 8n + 11 Obliczam różnicę a(n+1) - a(n) a(n+1) - a(n) = 8n + 11 -(8n +3) a(n+1) - a(n) = 8n +11 -8n -3 a(n+1) - a(n) = 8 Różnica wynosi 8 jest liczbą, więc jest to ciąg arytmetyczny b) an = n² + n +2 a(n+1) = (n+1)² + ( n+1) + 2 a(n +1) = n² +2n +1 + n +1 +2 a(n+1) = n² +3n +4 Obliczam różnicę a(n+1) - a(n) a(n+1) - a(n) = n² +3n +4 - (n² + n +2) a(n+1) -a(n) = n² +3n +4 - n² -n -2 a(n+1) -a(n) = 2n + 2 Różnica nie jest liczbą!. Wyrazenie 2n +2 zalezy od n, przyjmuje r óżne wartości w zależności od tego ile wynosi n Ciag a(n) = n² + n +2 nie jest arytmetyczny. 3. Ciąg a(n) jest określony wzorem an = -1/5n +2/7. Zbadaj jego monotoniczność. Aby zbadać monotoniczność ciagu należy zbadać czy różnica wyrazu następnego i poprzedniego jest dodatnia czy ujemna tzn. a(n+1) - a(n) > 0, czy a(n+1) - a(n) < 0 Ciąg jest rosnący , gdy róznica ta jest dodatnia Ciag jest malejacy gdy różnica ta jest ujemna a(n) = -1/5n +2/7 a(n+1) = -1/5(n+1) + 2/7 a(n+1) = -1/5n -1/5 +2/7 a(n+1) = -1/5n -7/35 + 10/35 a(n+1) = -1/5n + 3/35 a(n+1) - a(n) = -1/5n + 3/35 - (-1/5n +2/7) a(n+1) - a(n) = -1/5n +3/35 + 1/5n -2/7 a(n+1) -a(n) = 3/35 - 10/35 a(n+1) - a(n) = -7/35 Ponieważ różnica jest ujemna , więc ciag jest malejący 4.Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciagu arytmetycznego an jeśli a6 = 20 i a10 = 4 Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego: a(n) = a1 + ( n-1)*r a6 = a1 + (6 -1)*r = 20 a10 = a1 + (10-1)*r = 4 a1 + 5r = 20 a1 + 9r = 4 Powstał układ 2 równań z 2 niewiadomymi a1 = 20 -5r 20 -5r +9r = 4 a1 = 20 -5r 4r = 4 -20 a1 = 20 -5r r = (-16):4 = - 4 a1 = 20 - 5*(-4) = 20 + 20 = 40 r = -4 a1 = 40 r = -4 5. Wyznacz ciag arymetyczny (an) w którym S4 = 18 ∧ S7 = 10,5 Korzystam ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego Sn = 1/2( a1 +an)*n oraz ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego an = a1 + (n-1)*r Sn = 1/2[a1 + a1 + (n-1)*r ] *n Sn = 1/2[ 2a1 + (n-1)*r) ] *n S4 = 1/2[ 2*a1 + (4 -1)*r]*4 = 18 S7 = 1/2[ 2*a1 + (7-1)*r]*7 = 10,5 1/2[ 2*a1 + (4 -1)*r]*4 = 18 /*2 1/2[ 2*a1 + (7-1)*r]*7 = 10,5 /*2 [ 2*a1 + 3*r]*4 = 36 /:4 [ 2*a1 + 6*r]*7 = 21 /:7 2*a1 + 3*r = 9 2*a1 + 6*r = 3 2a1 = 9 -3r 9 -3r + 6r = 3 2a1 = 9 -3r 3r = 3 -9 2a1 = 9 -3r r = (-6): 3 = -2 2a1 = 9 -3*(-2) r = -2 2a1 = 9 + 6 = 15 r = -2 a1 = 15/2 r = -2 6. Między liczby 28 i 52, wstaw takie 2 liczby a i b , aby ciag { 28,a,b, 52} był artmetyczny { 28,a,b, 52} a1 = 28 a = a1 + (2-1)*r = 28 +r a = 28 +r b = a1 + (3-1)*r = 28 + 2*r b = 28 +2r a4 = 52 r = a4 - b r = 52 - (28 +2r) r = 52 -28 -2r r +2r = 24 3r = 24 r = 24 :3 r = 8 mając a1 oraz r , obliczam a i b a = 28 + r a = 28 + 8 = 36 a = 36 b = 28 +2r b = 28 + 2*8 = 28 + 18 = 44 b = 44 a = 36 b = 44 7. Lewa strona równania 2 + 5 + 8 + ...+x = 126 jest sumą kilku poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego. Oblicz x a1 = 2 a2 = 5 a3 = 8 an = x Sn = 126 Obliczam różnicę r r = a3 - a2 r = 8 -5 = 3 r = 3 a1 = 2 r = 3 an = x Majac a1 oraz r stosuje wzór na sume n wyrazów ciagu arytmetycznego Sn = 1/2*(a1 + an)*n oraz na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego an = a1 + ( n-1)*r x = 2 + ( n-1)*3 Sn = 1/2( 2 + x)*n = 126 1/2( 2 + x)*n = 126 1/2[ 2 + 2 +(n-1)*3]*n = 126 /*2 ( 4 + 3n - 3)*n = 252 ( 3n +1)*n -252 = 0 3n² + n -252 = 0 Δ = 1² -4*3*(-252) = 1 + 3024 = 3025 √Δ = √ 3025 = 55 n1 = ( -1 -55): 2*3 = (-56) : 6 = (-28/3) pomijam bo n musi być liczbą całkowita dodatnią, bo to są numery kolejne wyrazów n2 - ( -1 +55): 2*3 = 54 :6 = 9 rozwiazaniem równania jest n = 9 n =9 Obliczam teraz x x = 2 + ( n-1)*3 x = 2 + (9 -1)*3 x = 2 + 8*3 x = 2 + 24 x = 26
