lim przy n do nieskończoności pierwiastek kwadratowy n(n+1)-n pod znakiem korzenia tylko n(n+1)

Odp. w zalaczniku. ............................

[latex]limlimits_{n oinfty}left(sqrt{n(n+1)}-n ight)=limlimits_{n oinfty}left((sqrt{n(n+1)}-n)cdotdfrac{sqrt{n(n+1)}+n}{sqrt{n(n+1)}+n} ight)\\=limlimits_{n oinfty}dfrac{(sqrt{n(n+1)}-n)(sqrt{n(n+1)}+n)}{sqrt{n(n+1)}+n}[/latex] stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: [latex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/latex] stąd mamy: [latex]=limlimits_{n oinfty}dfrac{n(n+1)-n^2}{sqrt{n^2+n}+n}=limlimits_{n oinfty}dfrac{n^2+n-n^2}{sqrt{n^2(1+frac{1}{n})}+n}\=limlimits_{n oinfty}dfrac{n}{sqrt{n^2}cdotsqrt{1+frac{1}{n}}+n}=limlimits_{n oinfty}dfrac{n}{nsqrt{1+frac{1}{n}}+n}\\=limlimits_{n oinfty}dfrac{n}{nleft(sqrt{1+frac{1}{n}}+1 ight)}[/latex] Wiemy, że [latex]dfrac{1}{n} przy n oinfty=0[/latex] stąd: [latex]limlimits_{n oinfty}dfrac{1}{sqrt{1+frac{1}{n}}+1}=dfrac{1}{sqrt{1+0}+1}=dfrac{1}{1+1}=hugeoxed{dfrac{1}{2}}[/latex]