Trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny mają jednakowe pola, równe 9 pierwiastka z 3. Okręgi opisane na tych figurach są brzegami kół. Które z tych kół ma większe pole i ile razy większe?

Promień koła opisanego na trójkącie jest równy 2/3 jego wysokości. Pole trójkąta równobocznego o boku "a" wynosi: P=½ * a * h = ½ a * a√3/2 = ¼a²√3 => a² = 4P/√3 r₁ = ⅔ h = ⅔ a√3/2 = ⅓a√3 Pole koła: P₁ = πr₁² = 1/9 πa²*3=⅓πa² = ⅓π*4P/√3 = 4π√3P/9 Promień koła opisanego na sześciokącie jest równy bokowi jednego z 6 trójkątów równobocznych, z których on się składa. Bok ich jest równy bokowi sześciokąta. P = 6p = 6*¼r₂²√3 = 3/2 r₂²√3 => r₂² = ⅔P/√3 Pole koła: P₂ = πr₂² = ⅔πP/√3 P₁/P₂ = 4π√3P/9 / (⅔πP/√3) = 4√3*√3/9 * 3/2 = 4*3*3/(9*2) = 2 Pole koła opisanego na trójkącie jest 2 razy większe. Wielkość pola P do rozwiązania zadania nie jest potrzebna.