Udowodnij, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, to: a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac). Proszę o dokładne obliczenia. Rozwiązanie może być z załączniku lub normalnie. Powodzenia! ;P (Dam naj!)

Z tw. cosinusów: a² +b² +c² = 2a² +2b² +2c² -2bc cosα -2ac cos β -2 ab cosγ czyli a² +b² +c² = 2bc cosα + 2ac cosβ + 2ab cosγ Ponieważ dla dowolnych α, β, γ jest cos α ≤ 1 , cos β ≤ 1, cos γ ≤ 1 więc 2bc cos α < 2bc, 2ac cos β < 2ac, 2ab cos γ < 2ab zatem a² +b² +c² < 2ab + 2bc + 2ac a² + b² + c² < 2*(ab + bc + ac) ========================================= Tw. cosinusów Jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta: BC =a, AC = b, AB = c oraz α = I∢AI, β = I∢B I, γ = I ∢ C I, to a² = b² + c² - 2bc cos α b² = a² + c² - 2ac cos β c² = a² + b² - 2ab cos γ --------------------------------------------- Po dodaniu stronami otrzymamy a² + b² + c² = 2a² + 2b² + 2c² -2bc cosα - 2ac cos β - 2ab cos γ