Krotność pierwiastka a wielomianu f(x) to największa liczba naturalna k taka, że wielomian f dzieli się bez reszty przez wielomian [latex](x - a)^{k}[/latex]. Praktycznie: jeśli wielomian jest rozłożony na czynniki wtedy krotność pierwiastka to wartość potęgi przy x lub przy nawiasie. a) x⁵(x-3)(x+11)²(2x+4)⁵ x⁵ = 0 Λ x-3 = 0 Λ (x+11)² = 0 Λ (2x+4)⁵ = 0 x⁵ = 0 x₁ = 0 pierwiastek pięciokrotny (krotność 5) x-3 = 0 x₂ = 3 pierwiastek jednokrotny (krotność 1) (x+11)² = 0 x₃ = - 11 pierwiastek dwukrotny (krotność 2) (2x+4)⁵ = 0 2x + 4 = 0 2x = - 4 |:2 x₄ = - 2 pierwiastek pięciokrotny (krotność 5) b) (x²-3x+2)(-2x²+3x+2)(-2x²+x+1) x²-3x+2 Δ = 9 - 8 = 1 √Δ = 1 [latex]x_1 = frac{3-1}{2} = 1[/latex] [latex]x_2 = frac{3+1}{2} = 2[/latex] x²-3x+2 = (x-1)(x-2) -2x²+3x+2 Δ = 9 + 16 = 25 √Δ = 5 [latex]x_1 = frac{-3-5}{-4} = 2[/latex] [latex]x_2 = frac{-3+5}{-4} = - frac{1}{2}[/latex] -2x²+3x+2 = -2(x-2)(x+½) -2x²+x+1 Δ = 1 + 8 = 9 √Δ = 3 [latex]x_1 = frac{-1-3}{-4} = 1[/latex] [latex]x_2 = frac{-1+3}{-4} = - frac{1}{2}[/latex] -2x²+x+1 = -2(x-1)(x+½) (x²-3x+2)(-2x²+3x+2)(-2x²+x+1) = (x-1)(x-2)(-2)(x-2)(x+½)(-2)(x-1)(x+½) = 4(x-1)²(x-2)²(x+½)² (x-1)² = 0 Λ (x-2)² = 0 Λ (x+½)² = 0 (x-1)² = 0 x₁ = 1 pierwiastek dwukrotny (krotność 2) (x-2)² = 0 x₂ = 2 pierwiastek dwukrotny (krotność 2) (x+½)² = 0 x₃ = -½ pierwiastek dwukrotny (krotność 2) c) (x⁵-4x³+8x²-32)(x³-2x²) x⁵-4x³+8x²-32 = x³(x²-4)+8(x²-4) = (x³+8)(x²-4) = (x³+2³)(x²-2²) = (x+2)(x²-2x+2)(x-2)(x+2) = (x+2)²(x²-2x+2)(x-2) Wykorzystano wzory skróconego mnożenia: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) a²-b² = (a-b)(a+b) x³-2x² = x²(x-2) (x⁵-4x³+8x²-32)(x³-2x²) =(x+2)²(x²-2x+2)(x-2)(x²)(x-2) = x²(x+2)²(x-2)²(x²-2x+2) x² = 0 Λ (x+2)²= 0 Λ (x-2)²= 0 Λ x²-2x+2 = 0 x² = 0 x₁ = 0 pierwiastek dwukrotny (krotność 2) (x+2)²= 0 x₂ = - 2 pierwiastek dwukrotny (krotność 2) (x-2)²= 0 x₃ = 2 pierwiastek dwukrotny (krotność 2) x²-2x+2 = 0 Δ = 4 - 8 = - 4 < 0 nie ma pierwiastków
