Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwiązania zadań z wszystkich działów matematyki, dlatego może służyć zdającym nie tylko podczas egzaminu, ale i w czasie przygotowań do matury. Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okręgowych komisji egzaminacyjnych. Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów. Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie. SPIS TREŚCI 1. Wartość bezwzględna liczby............................................................................ 1 2. Potęgi i pierwiastki........................................................................................... 1 3. Logarytmy ........................................................................................................ 2 4. Silnia. Współczynnik dwumianowy ................................................................ 2 5. Wzór dwumianowy Newtona........................................................................... 2 6. Wzory skróconego mnożenia........................................................................... 3 7. Ciągi ................................................................................................................. 3 8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4 9. Geometria analityczna...................................................................................... 4 10. Planimetria ....................................................................................................... 6 11. Stereometria ................................................................................................... 12 12. Trygonometria................................................................................................ 14 13. Kombinatoryka............................................................................................... 15 14. Rachunek prawdopodobieństwa .................................................................... 15 15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16 16. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych............................................... 17 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: x=⎧x dlax≥0 ⎨−x dlax<0 ⎩ Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: x ≥0 −x = x Dla dowolnych liczb x, y mamy: x+y≤x+y x−y≤x+y x⋅y=x⋅y Ponadto,jeśli y≠0,to x = x y y Dla dowolnych liczb a oraz r ≥ 0 mamy warunki równoważne: x−a ≤r ⇔ a−r≤x≤a+r x−a ≥r ⇔ x≤a−r lub x≥a+r 2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę: an =a⋅...⋅a ␣␣␣ n razy Pierwiastkiem arytmetycznym n a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką, żebn =a. W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość: a2 = a . Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że bn = a . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. _____ _____ * Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: − dla a≠0: a−n = 1 oraz a0 =1 an m − dlaa≥0: an=nam − d l a a > 0 : a − mn = 1 n am Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a>0 i b>0, to zachodzą równości: ar⋅as=ar+s (ar)s=ar⋅s ar =ar−s as r ⎛a⎞r ar (a⋅b) =ar ⋅br ⎜b⎟ =br ⎝⎠ Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0 . 1 3. LOGARYTMY Niech a > 0 i a ≠1. Logarytmem loga c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c: log c=b⇔ab =c a Równoważnie: alogac =c Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory: log (x⋅y)=log x+log y log xr =r⋅log x log x=log x−log y aaaaaayaa Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli a>0, a≠1, b>0, b≠1oraz c>0,to logb c = loga c loga b log x oraz lg x oznacza log10 x . 4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie: n!=1⋅2⋅...⋅n Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1. Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek: (n+1)!= n!⋅(n+1) _____ _____ * Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy współczynnik dwumianowy ⎛ n ⎞ (symbol Newtona): ⎜k⎟ ⎝⎠ ⎛n⎞= n! ⎜k⎟ k!(n−k)! ⎝⎠ Zachodzą równości: ⎛n⎞= n(n−1)(n−2)⋅...⋅(n−k+1) ⎜k⎟ 1⋅2⋅3⋅...⋅k ⎝⎠ ⎛n⎞=⎛ n ⎞ ⎛n⎞=1 ⎛n⎞=1 ⎜k⎟ ⎜n−k⎟ ⎜0⎟ ⎜n⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy: (a+b)n =⎛n⎞an +⎛n⎞an−1b+...+⎛n⎞an−kbk +...+⎛ n ⎞abn−1 +⎛n⎞bn ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜k⎟ ⎜n−1⎟ ⎜n⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 2 6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Dla dowolnych liczb a, b: (a+b)2 =a2 +2ab+b2 (a+b)3 =a3 +3a2b+3ab2 +b3 (a−b)2 =a2 −2ab+b2 (a−b)3 =a3 −3a2b+3ab2 −b3 Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór: an −bn =(a−b)(an−1 +an−2b+...+an−kbk−1 +...+abn−2 +bn−1) W szczególności: a2 −b2 =(a−b)(a+b) a2 −1=(a−1)(a+1) a3 −b3 =(a−b)(a2 +ab+b2 ) a3 −1=(a−1)(a2 +a+1) a3 +b3 =(a+b)(a2 −ab+b2 ) a3 +1=(a+1)(a2 −a+1) an −1=(a−1)(1+a+...+an−1) 7. CIĄGI • Ciąg arytmetyczny Wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego (an ) o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r: an =a1+(n−1)r Wzór na sumę Sn = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: S =a1+an ⋅n=2a1+(n−1)r⋅n n 22 Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: an =an−1+an+1 dla n≥2 2 • Ciąg geometryczny Wzór na n–ty wyraz ciągu geometrycznego (an ) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q: an =a1⋅qn−1 dla n≥2 Wzórnasumę Sn =a1 +a2 +...+an początkowychnwyrazówciągugeometrycznego: ⎧ 1−qn S=⎪a1⋅1−q dla q≠1 n⎨⎪n⋅a dlaq=1 ⎩1 Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a2 =a ⋅a dla n≥2 n n−1 n+1 • Procent składany Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitał końcowy Kn wyraża się wzorem: K =K⋅⎛1+ p ⎞n n ⎜100⎟ ⎝⎠ 3 8. FUNKCJA KWADRATOWA Postaćogólnafunkcjikwadratowej: f (x)=ax2 +bx+c, a≠0, x∈R. Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: f(x)=a(x−p)2+q, gdziep=−b,q=−Δ,Δ=b2−4ac 2a 4a Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych (p,q). Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 . Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f (x) = ax2 + bx + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania ax2 + bx + c = 0 ), zależy odwyróżnika Δ=b2 −4ac: − jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy niema pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), − jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): x1 = x2 = − b 2a − jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): x1=−b− Δ x2=−b+ Δ 2a 2a Jeśli Δ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x 2 ) Wzory Viéte’a Jeżeli Δ ≥ 0 to x1+x2 =−b x1⋅x2 =c aa 9. GEOMETRIA ANALITYCZNA • Odcinek Długość odcinka o końcach w punktach A=(xA,yA), B=(xB,yB)danajestwzorem: AB= (xB−xA)2+(yB−yA)2 Współrzędne środka odcinka AB: ⎛ xA + xB , yA + yB ⎞ ⎜2 2⎟ ⎝⎠ y B = (xB , yB ) A = (xA , yA ) O x 4 • Wektory Współrzędne wektora AB : ␣␣␣␣ ␣␣␣␣ AB=[xB −xA,yB −yA] ␣␣ Jeżeli u =[u1,u2 ], v =[v1,v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to ␣␣␣ u+v=[u1 +v1,u2 +v2] a⋅u=[a⋅u1,a⋅u2] y = ax + b Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: a = tgα Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina. y y = ax + b • Prosta Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0 , gdzie A2 + B2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli A = 0 , to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , to prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: b α O x Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P = (x0 , y0 ): y = a ( x − x0 ) + y0 Równanieprostej,któraprzechodziprzezdwadanepunkty A=(xA,yA), B=(xB,yB): (y−yA)(xB −xA)−(yB −yA)(x−xA)=0 • Prosta i punkt Odległość punktu P = (x0 , y0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem: Ax0 +By0 +C A2 +B2 • Para prostych Dwie proste o równaniach kierunkowych y=ax+b y=ax+b 11 22 spełniają jeden z następujących warunków: − są równoległe, gdy a1 = a2 − są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 − tworzą kąt ostry φ i tgφ = a1 −a2 1+a1a2 5 Dwie proste o równaniach ogólnych: Ax+By+C=0 Ax+By+C=0 111 222 − sąrównoległe,gdy AB −AB =0 12 21 − sąprostopadłe,gdy AA +BB =0 12 12 − tworzą kąt ostry φ i tgφ = AB−AB 12 21 AA +BB 12 12 • Trójkąt Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A=(xA,yA), B=(xB,yB), C=(xC,yC), jest dane wzorem: P =1(x −x )(y −y )−(y −y )(x −x ) ΔABC 2 B A C A B A C A Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: ⎛ xA + xB + xC , yA + yB + yC ⎞ ⎜3 3⎟ ⎝⎠ • Przekształcenia geometryczne ␣ − przesunięcie o wektor u = [a,b] przekształca punkt A = (x, y) na punkt A′ = (x + a, y + b) − symetria względem osi Ox przekształca punkt A = (x, y) na punkt A′ = (x,−y) − symetria względem osi Oy przekształca punkt A = (x, y) na punkt A′ = (−x, y) − symetria względem punktu (a,b) przekształca punkt A = (x, y) na punkt A′ = (2a − x, 2b − y ) − jednokładność o środku w punkcie (0,0) i skali s ≠ 0 przekształca punkt A = (x, y) napunkt A′=(sx,sy) • Równanie okręgu Równanie okręgu o środku w punkcie S = (a,b) i promieniu r > 0 : (x−a)2 +(y−b)2 =r2 lub x2 +y2 −2ax−2by+c=0 gdy r2 =a2 +b2 −c>0 10. PLANIMETRIA • Cechy przystawania trójkątów C F A B D E 6 To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające (ΔABC≡ΔDEF), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów: − cecha przystawania „bok – bok – bok”: odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: AB = DE , AC = DF , BC = EF − cecha przystawania „bok – kąt – bok”: dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta orazkąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. AB = DE , AC = DF , ␣BAC = ␣EDF − cecha przystawania „kąt – bok – kąt”: jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. AB = DE , ␣BAC = ␣EDF , ␣ABC = ␣DEF • Cechy podobieństwa trójkątów C F E A B D To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne ( Δ ABC ~ Δ DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów: − cecha podobieństwa „bok – bok – bok”: długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np. AB = AC = BC DE DF EF − cecha podobieństwa „bok – kąt – bok”: długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. AB = AC , ␣BAC = ␣EDF DE DF − cecha podobieństwa „kąt – kąt – kąt”: dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): ␣BAC = ␣EDF , ␣ABC = ␣DEF , ␣ACB = ␣DFE 7 Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC: C γ b αβ a AcB a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A, B, C 2p=a+b+c –obwódtrójkąta α, β, γ –miarykątówprzy wierzchołkach A, B, C ha , hb , hc – wysokości opuszczone z wierzchołków A, B, C R, r – promienie okręgów opisanego i wpisanego • Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = c2 . • Związki miarowe w trójkącie prostokątnym b γ hc α a .β B A c C D Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: hc2 = AD ⋅ DB hc = ab c a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β a=b⋅tgα=b⋅ 1 tgβ R=1c r=a+b−c=p−c 22 • Twierdzenie cosinusów • Twierdzenie sinusów a = b = c =2R sinα sin β sinγ • Wzory na pole trójkąta P = 1⋅a⋅h = 1⋅b⋅h = 1⋅c⋅h ΔABC 2 a 2 b 2 c P = 1 a⋅b⋅sinγ 2 ΔABC P = 1a2 sinβ⋅sinγ =2R2 ⋅sinα⋅sinβ⋅sinγ ΔABC 2 sinα P =abc=rp= p(p−a)(p−b)(p−c) ΔABC 4R a2 =b2 +c2 −2bccosα b2 =a2 +c2 −2accosβ c2 =a2 +b2 −2abcosγ • Trójkątrównoboczny a – długość boku h – wysokość trójkąta h=a3 2 PΔ =a2 3 4 8 • Twierdzenie Talesa Jeżeli proste równoległe AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O, to OA = OB . OA′ OB′ B B A A′ O A B′ O A′ B′ • Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeżeli proste AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O oraz OA = OB , to proste AA′ i BB′ są równoległe. OA′ OB′ • Czworokąty Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu: P= a+b⋅h 2 DbC h AEB D C a Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: α A α hφ a h b A B P = ah = a⋅b⋅sinα = 1 ⋅ AC ⋅ BD ⋅sinφ 2 Romb Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych jednakowej długości. Wzory na pole rombu: C D P=ah=a2⋅sinα=1⋅AC⋅BD a2 B D AC B Deltoid Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu: P = 12 ⋅ A C ⋅ B D 9 • Koło Wzór na pole koła o promieniu r: P =πr2 Obwód koła o promieniu r: O O O r r Ob = 2π r • Wycinek koła Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: P=πr2⋅ α 360␣ Długość łuku wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym wstopniach:l=2πr⋅ α 360␣ α A B • Kąty w okręgu Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe. α A α 2α α B O • Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą BB O ACCA Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy ␣AOB = 2 ⋅ ␣CAB , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB. 10 • Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to PA ⋅ PB = PC 2 A B C. P • Okrąg opisany na czworokącie C γ B β Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: α +γ = β +δ =180␣ a+c=b+d δ D α A • Okrąg wpisany w czworokąt W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: C c D r b d B a A 11 11. STEREOMETRIA • Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych k l P m Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę płaszczyznę. Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P. Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l. • Oznaczenia P – pole powierzchni całkowitej Pp – pole powierzchni podstawy Pb – pole powierzchni bocznej V –objętość • Prostopadłościan E c P = 2(ab + bc + ac) V = abc gdzie a, b, c są długościami krawędzi prostopadłościanu b A a H G F C D B • Graniastosłup prosty I J H Pb =2p⋅h V = P ⋅h F G h p gdzie 2 p jest obwodem podstawy graniastosłupa D E C A B 12 • Ostrosłup S V =1P ⋅h h3p D E C A B • Walec P = 2π r ( r + h ) h gdzie h jest wysokością ostrosłupa Pb =2πrh V =πr2h P = 4π r 2 V = 43 π r 3 gdzie r jest promieniem kuli gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokością walca O • Stożek Pb =πrl P = π r (r + l ) V = 1πr2h 3 gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokością, l długością tworzącej stożka S h r r l r O • Kula O 13 12. TRYGONOMETRIA • Definicje funkcji trygonometrycznych y s i n α = ry cosα = rx tgα = y , gdy x ≠ 0 x gdzie r= x2+y2>0jest promieniem wodzącym punktu M y = tg x r α M=(x, y) M’ y = sin x y = cos x O x • Wykresy funkcji trygonometrycznych • Związki między funkcjami tego samego kąta sin2 α +cos2 α =1 tgα = sinα dla α ≠ π + kπ k – całkowite cosα 2 • Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych α 0␣ 30␣ 45␣ 60␣ 90␣ 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 tgα 0 3 3 1 3 nie istnieje 14 • Funkcje sumy i różnicy kątów Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości: sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β Ponadto mamy równości: tg(α +β)= tgα +tgβ tg(α −β)= tgα −tgβ 1−tgα⋅tgβ 1+tgα⋅tgβ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. • Funkcje podwojonego kąta sin 2α = 2sinα cosα c o s 2α = c o s 2 α − s i n 2 α = 2 c o s 2 α − 1 = 1 − 2 s i n 2 α 13. KOMBINATORYKA • Wariacje z powtórzeniami Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk. • Wariacje bez powtórzeń Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k (1≤ k ≤ n ) różnych wyrazów, jest równa n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k +1)= n! (n−k)! • Permutacje Liczba sposobów, na które n ≥ 1 różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa n!. • Kombinacje Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k (0≤k≤n) elementów, jest równa ⎛ n ⎞ . ⎜k⎟ ⎝⎠ 14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Własności prawdopodobieństwa 0≤P(A)≤1 dlakażdegozdarzenia A⊂Ω P(Ω)=1 Ω –zdarzeniepewne P (∅ ) = 0 ∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω ) P(A)≤P(B) gdy A⊂B⊂Ω P(A′)=1− P(A), gdzie A′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A P(A∪ B)= P(A)+ P(B)− P(A∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω P(A∪B)≤P(A)+P(B),dladowolnychzdarzeń A,B⊂Ω 15 • Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A ⊂ Ω jest równe P(A)= A Ω gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω . 15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH • Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n liczb a1 , a2 , ..., an jest równa: a = a1 +a2 +...+an n • Średnia ważona Średnia ważona n liczb a1 , a2 , ..., an , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi w,w,...,w jestrówna: 12n w ⋅a +w ⋅a +...+w ⋅a 1122nn w +w +...+w 12n • Średnia geometryczna Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 , ..., an jest równa: n a1⋅a2⋅...⋅an • Mediana Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych a1 ≤a2 ≤a3 ≤...≤an jest: − dla n nieparzystych: an+1 (środkowy wyraz ciągu) 2 − dla n parzystych: 1 ⎛ a + a ⎞ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu) 2⎜ n n+1⎟ ⎝22⎠ • Wariancja i odchylenie standardowe Wariancją n danych liczbowych a1, a2,...,an o średniej arytmetycznej a jest liczba: (a −a)2 +(a −a)2 +...+(a −a)2 a2 +a2 +...+a2 2 σ2=12 n=12n−(a) nn Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. 16 16. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH α [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 sinα cos β 0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 tgα 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 β [ ] 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 α [ ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 sinα cos β 0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1,0000 tgα 1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713 6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301 14,3007 19,0811 28,6363 57,2900 – β [ ] 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 17
