Zad. Oblicz pole równoramiennego trójkata prostokatnego, jesli: a) jego obwód jest równy 6(1+√2 ) (prawidłowy wynik to 9) O = 6(1 + √2) - obwód trójkata prostokatnego równoramiennego a - przyprostokatna a - druga przyprostokatna c - przeciwprostokatna P = ? - pole trójkata 1. Obliczam przeciwprostokatną c z tw. Pitagorasa c² = a² + a² c² = 2a² c = √(2a²) c = a√2 2. Obliczam bok a trójkata O = 6(1 + √2) O = a + a + c O = 2a + a√2 2a + a√2 = 6(1 + √2) a(2 +√2) = 6(1 + √2) a = 6(1 + √2) : (2 + √2) a = (6 + 6√2) : (2 + √2)*(2 -√2) : ( 2 -√2) usuwam niewymierność mianownika a = (6 + 6√2)(2 -√2) : [ 2² -(√2)²] a = [ 12 -6√2 +12√2 -6*2 ] : [ 4 -2] a = [6√2] : 2 a = 3√2 [j] 3. Obliczam pole trójkąta P = 1/2*a*a P = 1/2*a² P = 1/2*(3√2)² P = 1/2*9*2 P = 9 [j²] b) jego przeciwprostokątna jest o 1+√2 dłuższa od przyprostokatnej) (prawidłowy wynik to 17/2 + 6√2 ) a - przyprostokatna a - a - druga przyprostokatna c = a + 1 +√2 - przeciwprostokatna 1. Obliczam bok a a : c = sin 45° a = c*sin 45° a = (a + 1 +√2 )*1/2*√2 a = 1/2*a*√2 + 1/2*√2 + 1/2*√2*√2 a = 1/2*a*√2 + 1/2*√2 +1/2*2 a = 1/2*a*√2 + 1/2*√2 +1 a - 1/2a*√2 = 1/2*√2 +1 a(1 -1/2*√2) = 1/2*√2 +1 a = [ 1/2*√2 +1] : [ 1- 1/2*√2] a = [ 1/2*√2 +1] : [ 1- 1/2*√2] * [(1+1/2*√2) : (1+ 1/2*√2)] usuwam niewymierność mianownika a = [ (1/2*√2)² + 2*1/2*√2 +1 ] : [ 1² -(1/2*√2)²] a = [ 1/4*2 + √2 +1] : [ 1 - 1/4*2] a = [1/2 +1 + √2] : (1 -1/2) a = [ 3/2 +√2] : 1/2 a = 3/2*2 + 2*√2 a = 3 + 2√2 [ j] 2. Obliczam pole trójkąta P = 1/2*a*a P = 1/2*a² P = 1/2*(3 + 2√2)² P = 1/2(9 + 2*3*2√2 + 4*20 P = 1/2*(17 + 12√2) P = 17/2 + 6√2 [j²]
