x, y ∈ N a) xy - 6 = 2y + 5x xy - 2y = 5x + 6 y*(x -2) = 5x + 6 y = (5x +6)/(x -2) = [5*(x -2) +16]/(x -2) = 5 + 16/(x -2) x -2 musi być dzielnikiem naturalnym liczby 16, czyli x -2 = 1 --> x = 3 ; y = 5 + 16 = 21 x - 2 = 2 --> x = 4; y = 5 + 16/2 = 5 + 8 = 13 x - 2 = 4 --> x = 6; y = 5 + 16/4 = 5 + 4 = 9 x - 2 = 8 --> x = 10 ; y = 5 + 16/8 = 5 + 2 = 7 x - 2 = 16 --> x = 18; y = 5 + 16/16 = 5 + 1 = 6 Odp. Pary liczb są rozwiązaniami równania: (3;21), (4; 13),(6; 9),(10; 7), (18; 6) ====================================== b) x, y ∈ N 3xy - 6 = 2y + 5x 3xy - 2y = 5x +6 y*(3x - 2) = 5x + 6 y = (5x +6)/ (3x -2) = [5(x-2) +16]/[3(x -2) + 4] = = [ 5 + 16/(x -2)]/ [3 + 4/(x-2)] x-2 musi być dzielnikiem liczby 4, zatem x -2 = 1 --> x = 3 x -2 = 2 --> x = 4 x -2 = 4 --> x = 6 Obliczamy y: x = 3 ; to y = [5+16]/[3 +4] = 21/7 = 3 x = 4; to y = [5 + 8]/[3 + 2] = 13/5 - odpada x = 6; to y = [5 +4]/[3 +1] = 9/4 - odpada Odp. x = 3 , y = 3 ============================================== c) x,y,z ∈ N 1/x = 1/y + 1/z = 2 założenie x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 Mnożymy obustronnie przez x*y*z yz + xz + xy = 2xyz yz + xz = 2 xyz - xy ( y +x) z = xy*(2z - 1) (x + y) z = xy*(2z - 1) (x +y)/(xy) = (2z - 1)/ z (x + y) / (xy) = 2 - 1/z z musi być równe 1 wtedy mamy (x +y)/(xy) = 2 - 1 = 1 x +y = xy y - xy = -x y( 1 - x) = - x y = -x /(1 -x) = -x/ [-(x -1)] = x/(x -1) x musi być równe 2 ale wtedy y = 2/(2 -1) = 2 Mamy zatem x = 2, y = 2 , z =1 Ze względu na symetryczność wyrażenia mamy jeszcze 2 inne rozwiązania: Odp.:(2,2,1),(2,1,2), (1,2,2) ===================================== d) x,y ∈ Z ( liczby całkowite ) 3y + 4x = 12 + xy 3y - xy = 12 - 4x y*(3 - x) = 12 - 4x y = (12 - 4x)/(3 - x) = [4*(3 - x)]/(3 -x) = 4 , dla x ≠ 3 zatem rozwiązaniami równania są pary liczb postaci (x ; 4) gdzie x ∈ Z i x ≠ 3. np. ..., ( -2;4),(-1;4),(0;4),(1;4),(2;4),(4;4), .... ====================================================
