1.które z wyrazów ciągu an sa równe ; (n²-4)(n²-3)(n-5)=0 an = (n²-4)(n²-3)(n-5)=0 (n-2)(n +2)(n-√3)(n+√3)(n-5)= 0 n-2 = 0, lub n +2 = 0, lub n-√3 = 0, lub n +√3 = 0, lub n-5 = 0 n =2, lub n = -2, lub n = √3, lub n = -√3, lub n = 5 Ponieważ n ∈ N, więc rozwiazaniem nie jest n = -2, n=√3, n = -√3 Odp. n= 2 i n = 5 , czyli drugi i piąty wyraz ciagu jest równy zero 2.które wyrazy ciągu są ujemne; an = -n²+10n+11 an < 0 -n²+10n+11 < 0 Δ = 10² - 4(-1)*11 = 100 + 44 = 144 √Δ= √144 = 12 n1 = (-10-12): 2*(-1) = (-22): (-2) = 11 n2 = (-10 +12) :2*(-1) = 2 : (-2) = -1 zaznaczam pierwiastki na osi Ox i rysuje parabole ramionami skierowaną w dół ( bo współczynnik przy x² jest ujemny) i zaznaczam przedziały dla których nierówność jest mniejsza od zera n ∈ ( -1, 11) Ponieważ n musi być liczbą calkowitą dodatnią , to rozwiazaniem jest n ∈ < 1, 10 > n = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Odp.n = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} wyrazy ciagu -n²+10n+11 są ujemne 3.zbadaj monotoniczność ciągu; 2n+3 an =₋₋₋₋₋₋₋₋ n+1 an = (2n+3) : (n+1) Aby sprawdzić monotoniczność ciągu( czy jest rosnacy, czy malejący) należy utworzyć wyraz następny. Trzeba w miejsce n wstawić n+1 a(n+1) = [2(n+1)+3] : [ n+1 +1] a(n+1) = [2n +2 +3] : [ n +2] a(n+1) = [2n +5] : [ n+2] Teraz należy skorzystać z definicji ciagu rosnacego lu malejącego; Ciąg jest rosnacy gdy różnica a(n+1) - an jest dodatnia Ciąg jest malejący gdy różnica a(n+1) - an jest ujemna a(n+1) -an = [2n +5] : [ n+2] - (2n+3) : (n+1) sprowadzam do wspólnego mianownika wspólny mianownik to: (n +2)(n +1) a(n+1) -an = [ (2n+5)(n+1) -(2n+3)(n+2)] : [(n +2)(n +1)] a(n+1) -an = [ 2n² +2n +5n +5 - (2n² +4n+3n +6] : [(n +2)(n +1)] a(n+1) -an = [ 2n² +7n +5 - 2n² -7n -6] : [(n +2)(n +1)] a(n+1) -an = (-1) : [(n +2)(n +1)] Otrzymany iloraz jest ujemny, ponieważ -1 jest ujemne i n jest liczba naturalną (całkowitą dodatnią) zatem (n+2) jest wieksze od zera i ( n+1) jest wieksze od zera. Odp. Ciag an = (2n+3) : (n+1) jest malejący 4.znajdż 15 wyraz ciągu jeśli; a₅=3 a₈=8 a5 = 3 a8 = 8 Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego: an = a1 +(n-1)*r a5 = a1 + 4r = 3 a8 = a1 +7r = 8 a1 + 4r = 3 a1 +7r = 8 a1 = 3 -4r 3-4r +7r = 8 a1 = 3 -4r 3r = 8 -3 a1 = 3 -4r r = 5/3 a1 = 3 -4*(5/3) = 9/3 - 20/3 = -11/3 r = 5/3 a15 = a1 + 14r a15 = -11/3 + 14*(5/3) a15 = -11/3 +70/3 a15 = 59/3 a15 = 19⅔ Odp. a15 = 19⅔
