Wykaż, że trójkąt którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.

Oznaczmy długości boków trójkąta przez a, aq, aq² , a miary kątów przez α − r,α,α + r , gdzie r ≥ 0 i q ≥ 1 . Korzystając z tego, że w trójkącie na przeciw większego kąta leży dłuższy bok, kąty α− r,α,α+ r leżą na przeciwko odpowiednio boków a,aq,aq2 . Gdyż suma kątów w trójkącie wynosi 180° mamy α − r + α + α + r = 180° ⇒ α = 60° , Więc kąty mają miary 60°−r, 60°,60° + r . Zmieniając ewentualnie skalę trójkąta, możemy założyć, że a = 1 , czyli boki mają długości 1,q,q². Pisząc twierdzenie cosinusów dla kąta 60° możemy wyliczyć q . q² = 1 + q⁴ − 2 ⋅1 ⋅q² cos 60° q²= 1+q⁴-q² q⁴ − 2q² + 1 = 0 (q² − 1)² = 0 ⇒ q² = 1 ⇒ q = 1 . Więc trójkąt jest równoboczny