1.Znajdź wszystkie wielokąty mające tyle samo boków i przekątnych. 2. Znajdź wszystkie wielokąty, w których liczba przekątnych jest 5 razy większa od liczby boków. 3. Znajdź takie dwa wielokąty, które w sumie mają 17 boków i 49 przekątnych.

p=n(n-3)/2     1. n=n(n-3)/2 |*2 2n=n(n-3) 2n=n²-3n n²-3n-2n=0 n²-5n=0   Δ=(-5)²-4*1*0 Δ=25 √Δ=5   n₁=(-(-5)-5)/(2*1) n₁=0/2 n₁=0   n₂=(-(-5)+5)/(2*1) n₂=10/2 n₂=5   Jest tylko jeden taki wielokąt - pięciokąt.   2. 5n=n(n-3)/2 |*2 10n=n(n-3) 10n=n²-3n n²-3n-10n=0 n²-13n=0   Δ=(-13)²-4*1*0 Δ=169 √Δ=13   n₁=(-(-13)-5)/(2*1) n₁=8/2 n₁=4   n₂=(-(-13)+5)/(2*1) n₂=18/2 n₂=9   Są dwa takie wielokąty - czworokąt i dziewięciokąt   3. n₁+n₂=17 n₁(n₁-3)/2+n₂(n₂-3)/2=49   n₁=17-n₂ n₁(n₁-3)/2+n₂(n₂-3)/2=49 |*2   n₁=17-n₂ n₁(n₁-3)+n₂(n₂-3)=98   n₁=17-n₂ n₁²-3n₁+n₂²-3n₂=98   (17-n₂)²-3(17-n₂)+n₂²-3n₂=98 289-34n₂+n₂²-51+3n₂+n₂²-3n₂=98 2n₂²-34n₂+140=0   Δ=(-34)²-4*2*140 Δ=1156-1120 Δ=36 √Δ=6   n₂₁=(-(-34)-6)/(2*2) n₂₁=28/4 n₂₁=7   n₂₂=(-(-34)+6)/(2*2) n₂₂=40/4 n₂₂=10   n₁+7=17 n₁=17-7 n₁=10   n₁+10=17 n₁=17-10 n₁=7   n₁=n₂ a więc jest tylko jedna para takich wielokątów. Są to siedmiokąt i dziesięciokąt.