a) wyznaczyć gradient funkcji f(x,y,z)=A(x^3+y^3+z^3) b) wyznacz dywergencję wektora a= (xy, xyz, z/y) c) wyznacz rotację wektora a= (xy + zy, xz+z^2+y, y+x^2)

1. rozwiązanie w załączniku 2

a) Dane: f(x, y, z) = A(x³ + y³ + z³) gradf(x, y, z) = ? f(x, y, z) = Ax³ + Ay³ + Az³ gradf(x,y,z) = (σf/σx, σf/σy,σf/σz) Obliczam pochodne cząstkowe: σf/σx = 3Ax² σf/σy = 3Ay² σf/σz = 3Az² grad f(x, y, z) = (3Ax², 3Ay², 3Az²) grad f(x, y, z) = 3A(x², y², z²) b) Dane: a = (xy, xyz, z/y) div a = ? a = (ax, ay, az) ax = xy ay = xyz az = z/y div a = σax/σx + σay/σy + σaz/σz Obliczam pochodne cząstkowe: σax/σx = y σay/σy = xz σaz/σz = 1/y div a = y + xz + 1/y div a = (y² + xyz + 1)/y c) Dane: a= (xy + zy, xz + z² + y, y + x²) rot a = ? rot a = (σaz/σy - σay/σz )i + (σax/σz - σaz/σx )j + (σay/σx - σax/σy )k ax = xy + zy ay = xz + z² az = y + x² σax/σy = x + z σax/σz = y σay/σx = z σay/σz = x + 2z σaz/σx = 2x σaz/σy = 1 rot a = (1 -x - 2z)i + (y - 2x)j + (z - x - z)k rot a = (1 -x - 2z)i + (y - 2x)j - xk