Podaj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest : √5 + √7 uwaga: Zapisz wszystkie obliczenia i w logiczny sposób (dlaczego właśnie tak ???).

Niech x = √5 + √7 ; podnosimy do kwadratu x² = (√5 +√7)² x² = 5 + 2√5*√7 + 7 x² = 12 + 2√35 x² - 12 = 2√35 ; podnosimy jeszcze raz do kwadratu x⁴ - 24 x² + 144 = 4*35 x⁴ - 24 x² + 144 - 140 = 0 x⁴ - 24 x² + 4 = 0 Odp. W( x) = x⁴ -24 x² + 4 Spr. x⁴ - 24 x² + 4 = 0 x² = t t² - 24 t + 4 = 0 Δ = (-24)² - 4*1*4 = 576 - 16 = 560 = 16*35 √Δ = 4 √35 t = [24 - 4√35]/2 = 12 - 2√35 lub t = [ 24 + 4√35]/2 = 12 + 2√35 zatem mamy x² = 12 + 2√35 = 5 + 7 + 2√35 = (√5 + √7)² czyli x = √5 + √7 ============================= lub x = - (√5 + √7) Inne pierwiastki to: x = √5 - √7 oraz x = √7 - √5 Liczba √5 + √7 jest więc pierwiastkiem wielomianu W(x) = x⁴ - 24 x² + 4 , czyli wielomianu o współczynnikach całkowitych.