Jeśli odsetki nie dodają się do kapitału rocznego K i są naliczane 1 raz w miesiącu, to po 1 mies. będzie na koncie K + Kp/12, gdzie p=roczna stopa oprocentowania, po 2 mies. K + Kp/12 + K + 2Kp/12 = K[2 + (1 + 2)p/12] po 3 mies. K + Kp/12 + K + 2Kp/12 + K + 3Kp/12 = K[3 + (1 + 2 + 3)p/12] po 40 latach = 480 miesiącach K[480 + (1 + 2 + 3 + ... + 480)p/12] Suma ciągu arytmetycznego od 1 do 480 wynosi (1 + 480)*480/2 = 115440 K(480 + 9620p) K = 1000 a) 1000(480 + 9620*0,05) = 961000 b) 1000(480 + 9620*0,10) = 1442000 Inaczej będzie, jeśli odsetki się dodają do kapitału (tzw. procent składany), ale czy tak ma być liczone - brak informacji w zadaniu. Gdyby tak miało być (procent składany przy kapitalizacji miesięcznej), to należy dodać kapitały od procentów składanych z kwot k=1000 zł: z pierwszego 1000 zł za 40 lat = 480 miesięcy wynoszący k(1+ p/12)⁴⁸⁰ z drugiego 1000 zł za 39 lat 11 miesięcy = 479 miesięcy wynoszący k(1+ p/12)⁴⁷⁹ ... z ostatniego 1000 zł za 1 miesiąc wynoszący k(1+ p/12)¹ Jak widać, nie jest to proste wyliczenie, ale gdy zauważymy, że mamy do czynienia z sumą ciągu geometrycznego o parametrach: a₁ = k(1 + p/12) n = 480 q = (1 + p/12) to suma wyniesie S = a₁(1 - q^n) / (1 - q), gdzie ^ oznacza potęgowanie Dla p = 5% = 0,05 a₁ = 1000(1 + 0,05/12) = 12050/12 q = (1 + 0,05/12) = 1205/1200 S = 12050/12 * [1 - (1205/1200)⁴⁸⁰] / (1 - 1205/1200) = 12050/12 * [1 - (1205/1200)⁴⁸⁰] * (-1200/5) = 241000 * [(1205/1200)⁴⁸⁰ - 1] = 1 532 378 zł Dla p = 10% = 0,1 a₁ = 1000(1 + 0,10/12) = 12100/12 = 3025/3 q = (1 + 0,1/12) = 1210/1200 = 121/120 S = 3025/3 * [1 - (121/120)⁴⁸⁰] / (1 - 121/120) = 3025/3 * [1 - (121/120)⁴⁸⁰] * (-120) = 121000 * [(121/120)⁴⁸⁰ - 1] = 6 497 780 zł Mam nadzieję, że się nie pomyliłem. PS. Oczywiście, trzeba pamiętać, że imć Belka też coś z tego będzie chciał mieć...
