z.1 a1 =5 oraz r = 2 Sn = 192 an = a1 +(n -1)*r an = 5 +*n-1)*2 = 5 +2n -2 = 2n +3 Sn = 0,5*[a1 + an]*n czyli 192 = 0,5*[5 + 2n +3]*n = 0,5*[2n +8]*n = (n +4)*n = n² + 4n n² + 4n - 192 = 0 Δ = 4² - 4*1*(-192) = 16 + 768 = 784 √Δ = √784 = 28 n = [-4 - 28]/2 < 0 - odpada, bo n liczba naturalna n = [ -4 +28]/2 = 24 / 2 = 12 n = 12 Odp.Trzeba dodać 12 początkowych wyrazów tego ciągu aby otrzymać 192. ----------------------------------------------------------- z.2 an = 4 - 5n an+1 = 4 - 5*(n +1) = 4 - 5n -5 = -1 - 5n an+1 - an = [-1 -5n] - [4 - 5n] = -1 -4 -5n + 5n = - 5 < 0 Jest to arytmetyczny ciąg malejący o r = - 5. ---------------------------------------------------------------- z.3 a1 = 0,5 r = 1,5 wyznacz a10 a10 = a1 + (10 -1)*r = 0,5 + 9*1,5 = 0,5 + 13,5 = 14 ==================================================
Zad. 1) Dane: a1 = 5 r = 2 Sn = 192 n = ? n∈ N Sn = 0,5n(a1 + an) an = a1 + (n - 1)r an = 5 + 2(n - 1) an = 5 + 2n - 2 an = 2n + 3 Sn = 0,5n(5 + 2n + 3) Sn = 0,5n(2n + 8) Sn = 0,5n*2(n + 4) Sn = n(n + 4) Sn = n² + 4n n² + 4n = 192 n² + 4n - 192 = 0 (n² + 4n + 4) - 4 - 192 = 0 (n + 2)² - 196 = 0 (n + 2)² - 14² = 0 [(n + 2) - 14][(n + 2) + 14] = 0 (n + 2 - 14)(n + 2 + 14) = 0 (n - 12)(n + 16) = 0 n - 12 = 0 ∨ n + 16 = 0 n = 12 ∨ n = - 16 n ∈ N Odp: Należy zsumować 12 wyrazów ciągu. Zad. 2) Dane: an = 4 - 5n a1 = - 1 a2 = - 6 a3 = - 11 a2 - a1 = - 6 - ( - 1) = - 6 + 1 = - 5 a3 - a2 = - 11 - ( - 6) = - 11 + 6 = - 5 Dany ciąg jest ciągiem arytmatycznym. a(n +1) = 4 - 5(n + 1) a(n + 1) = 4 - 5n - 5 a(n + 1) = - 1 - 5n Badam znak różnicy: a(n + 1) - an = - 1 - 5n - (4 - 5n) = = - 1 - 5n - 4 + 5n = = - 5 a(n + 1) - an < 0 a(n + 1) < an Odp: Dany ciąg jest ciągiem malejacym. Zad. 3) Dane: a1 = 0,5 r = 1,5 a10 = ? a10 = a1 + (10 - 1)r a10 = a1 + 9r a10 = 0,5 + 9*1,5 a10 = 0,5 + 13,5 a10 = 14 Odp: Dziesiąty wyraz ciagu liczbowego wynosi 14.
