wyznacz trójmian kwadratowy y=x²+bx+c majac pierwiastki a) √2 i 1+√2 b) 1+√7 i 1-√7

Metoda "odwrotna" do liczenia miejsc zerowych: Dane: Trójmian w postaci y=x²+bx+c (stąd: a=1) Wzory na pierwiastki: x1=-b+√Δ / 2a i x2=-b-√Δ / 2a (a=1) pkt. a: Pierwiastki: x1=√2 i x2=1+√2 Ze wzorów na pierwiastki możemy obliczyć współczynnik b oraz wyznacznik (Δ): Po przekształceniu wzorów otrzymujemy układ równań: x1: (-b+√Δ)÷2 = √2 → -b+√Δ=2√2 x2: (-b-√Δ)÷2 = 1+√2 → -b-√Δ=2+2√2 Rozwiązałem go metodą podstawiania: x1: -b=2√2-√Δ x2: (2√2-√Δ)-√Δ=2+2√2 x2: 2√2-2√Δ=2+2√2 |-2√2 x2: -2√Δ=2 |÷(-2) x2: √Δ=-1 Podstawiamy wartość (np. do równania na x2): -b-(-1)=2+2√2 -b+1=2+2√2 |-1 -b=1+2√2 |×(-1) b=-1-2√2 Następnie korzystając ze wzoru na wyznacznik obliczamy współczynnik c: Δ=b²-4ac Mamy obliczone: √Δ=-1 → Δ=1, powinienem teraz przekształcić wzór na wyznacznik aby po lewej stronie mieć sam współczynnik c ale ze względów na brak możliwości posługiwania się tutaj zapisem ułamkowym podstawię do wzoru nieprzekształconego: 1=(-2√2-1)²-4c 1=(8-2(-2√2)+1)-4c 1=8+4√2+1-4c |-1,+4c 4c=8+4√2 |÷4 c=2+√2 Mamy już wszystkie parametry równania: Odp.: Trójmian kwadratowy o współczynniku a=1 mający pierwiastki √2 i 1+√2 to y=x²+(-1-2√2)x+(2+√2) Spr.: Δ=(-1-2√2)²-4(2+√2)=(1+4√2+8)-8-4√2=1 √Δ = 1 ∨ -1 x1=(-(-1-2√2)-1)÷2=(1+2√2-1)÷2=√2 x2=(-(-1-2√2)+1)÷2=(1+2√2+1)÷2=(2√2+1)÷2=√2+1 -------------------------------------------------------- pkt. b: Pierwiastki: x1=1+√7 i x2=1-√7 Analogicznie: (tym razem już bez zbędnego rozpisywania): x1: (-b+√Δ)÷2 = 1+√7 → -b+√Δ=2+2√7 x2: (-b-√Δ)÷2 = 1-√7 → -b-√Δ=2-2√7 z x1: √Δ=2(1+√7)+b=2+2√7+b wstawiamy do x2: -b-(2+2√7+b)=2-2√7 -b-2-2√7-b=2-2√7 |+2√7 -2b-2=2 -2b=4 b=-2 wstawiamy do wzoru na √Δ: √Δ=2+2√7-2 √Δ=2√7 Δ=28 Ze wzoru na wyznacznik (podstawiamy): 28=4-4c 24=-4c c=-6 Odp.: Trójmian kwadratowy o współczynniku a=1 mający pierwiastki x1=1+√7 i x2=1-√7 to y=x²-2x-6 Spr.: Δ=(-2)²-4(-6)=4+24=28 √Δ = √(4×7) = √4×√7 = 2√7 ∨ -2√7 x1=(2-2√7)÷2=1-√7 x1=(2+2√7)÷2=1+√7 --------------------------------------------------------