Stosujemy podstawienie cos x = (1 - t²)/(1 + t²) oraz sin x = 2t /(1 +t²) Otrzymamy 1 + (1 + t²)/2t + (1 + t²)/(1 - t²) = 1 / [1 +2t/(1 + t²) + (1 - t²)/(1 +t²) ] Po dość żmudnych obliczeniach otrzymamy [1 + 4t - t⁴]/[2t (1 - t)(1 +t)] =[[t - t² + t³ - t⁴]/[ 2t (1 -t) ( 1 +t)] Porównujemy liczniki tych ułamków: Mamy 1 + 4t - t⁴ = t -t² +t³ - t⁴ czyli t³ - t² - 3t -1 = 0 Sprawdzamy,że t = -1 jest pierwiastkiem tego równania, bo -1 -1 +3 - 1 = 0 Po podzieleniu przez t +1 otrzymamy t² - 2t -1 Δ = 4 - 4*1(-1) = 4 +4 = 8 = 4*2 √Δ = 2√2 t = [2 - 2√2]/2 = 1 - √2 lub t = [2 +2√2]/2 = 1 + √2 czyli t³ - t² -3t - 1 = (t+1)[ t - 1 +√2]*[t -1 - √2] zatem mamy t = -1 lub t = 1 - √2 lub t = 1 + √2 ------------------------------------------------------ Otrzymujemy: 1) dla t = -1 cos x = [ 1 -(-1)²]/[1 + (-1)²] = 0 ale nie wolno dzielić przez 0 dlatego t = - 1 odrzucamy. 2) dla t = 1 - √2 sin x = 2*(1 - √2)/[ 1 +( 1 -√2)²] = 2(1 - √2}/[4 -2 √2] = (1-√2)/(2 -√2) = = - √2/2 oraz cos x = [ 1 -(1 - √2)²]/[ 1 +(1 - √2)²] = √2/2 Analogicznie 3) dla t = 1 + √2 sin x = √2/2 oraz cos x = - √2/2 ============= Zatem mamy sin x = -√2/2 oraz cos x = √2/2 sin x = √2/2 oraz cos x = - √2/2 ============================== Odp, x = - π/4 + k *2π lub x = (3/4)π + k * 2π ================= lub inaczej x = - 45⁰ + 360⁰ * k lub x = 135⁰ + 360⁰ * k ; k - liczba całkowita =============================================== Można też zapisać w następujący sposób x = - π/4 + k * π lub x = - 45⁰ + 180⁰ * k ; k - liczba całkowita ===========================================
