Wiedząc że liczba pi jest liczbą niewymierną, wykaż że liczba 2pi −1 też jest liczbą niewymierną.

Załóżmy, że   2π - 1 jest liczbą wymierną , zatem można ją przedstawić jako ułamek 2π - 1 = l/m ; gdzie  l, m ∈ Z  i  m ≠ 0 , Z - zbiór liczb całkowitych; wtedy 2π = l/m + 1 = (l +m)/m, więc π = (l+m)/(2m) , a to oznacza ,  iż π jest liczbą wymierną , wbrew założeniu o niewymierności liczby π. Z powyższego rozumowania  wynika, że 2π -1 nie może być liczba wymierną, zatem jest liczbą niewymierną. ==================================    

Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka a/b,  gdzie: a i b są liczbami całkowitymi,  b - różne od zera (mianownik =/= 0). Jeżeli liczba  2pi byłaby liczbą wymierną, to:( 2pi -1) również,co zapisujemy: 2pi -1 = (a/b) -1 2pi = (a-b)/b   I:2 pi = (a -b)/2b, co znaczyłoby,że pi jest liczbą wymierną,co jest sprzeczne z założeniem. Skoro pi jest liczbą niewymierną,to 2pi również jest liczbą niewymierną,zatem: 2pi -1 też jest liczbą niewymierną.