Tych przykładów przez grupowanie za bardzo się nie da bo ilość czynników jest nieparzysta :) W(x) = 2x⁴ + x³ + 4x² + x + 2 W(x) = x⁴ + 3x³ + 4x² - 6x -12 Tu można zastosować metodę grupowania x⁵ + 4x³ - x² - 4 = 0 x³(x²+4) - 1(x²+4) = 0 (x²+4)(x³-1)=0 (x²+4)(x-1)(x²+x+1)=0 x²+4=0 nie da się rozłożyć, zatem z tego nie będzie rozwiazania x-1=0 czyli x = 1 x²+x+1=0 nie da sie tego rozłożyć więc i z tego nie będzie rozwiązania bo delta jest mniejsza od zera Rozwiązaniem jest jedynie x=1 2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0 2x³ + 2 + 7x² + 7x = 0 2(x³+1) + 7x(x+1) = 0 2(x+1)(x²-x+1) + 7x(x+1)=0 (x+1) (2(x²-x+1) + 7x) = 0 (x+1) (2x²-2x+2+7x) = 0 (x+1) ( 2x²+5x+2) = 0 x+1=0 czyli x = -1 2x²+5x+2=0, liczymy deltę, Δ=5²-4*2*2=25-32=-7 < 0 czyli nie ma z tego rozwiązania Rozwiązanie jest tylko jedno x = - 1
W(x) = 2 x^4 +x^3 + 4 x^2 + x + 2 = = 2 x^4 + x^3 +2 x^2 + 2 x^2 = x +2 = = x^2(2x^2 +x +2) + ( 2x^2 + x +2 ) = =(x^2 +1)(2x^2 + x + 2) ------------------------------ W II przykładzie coś brakuje ====================================== Równania x^5 + 4 x^3 - x^2 - 4 = 0 x^3 ( x^2 +4) - (x^2 +4) = 0 (x^3 -1 ) (x^2 + 4) = 0 (x-1)(x^2 +x +1)( x^2 + 4) = 0 x - 1 = 0 ; x^2 +x +1 > 0 ; x^2 + 4 > 0 zatem x = 1 ----------------------------------------------------- 2 x^3 + 7 x^2 + 7 x +2 = 0 x = -1 jest pierwiastkiem tego równania, bo 2*(-1) + 7*1 - 7*1 +2 = -2 +7 - 7 + 2 = 0 zatem można podzielić przez x +1 2 x^2 + 5x + 2 --------------------------- 2 x^3 + 7 x^2 + 7x + 2 : ( x +1) -2x^3 - 2 x^2 -------------------------- ........ 5x^2 + 7x ....... -5x^2 - 5x --------------------------- ................ 2x + 2 ............... -2 x - 2 --------------------------- ...................... 0 Mamy zatem 2x^3 + 7 x^2 + 7x + 2 = (x+1)(2 x^2 + 5x +2) delta = 5^2 - 4*2*2 = 25 -16 = 9 x = [-5 -3]/4 = -8/4 = -2 lub x = [ -5 + 3]/4 = -2/4 = - 0,5 Odp. x1 = -2, x2 = -1, x3 = -0,5 ========================================================
Więc tak; W(x) = 2x^4 + x^3 + 4x^2 + x + 2 W(x) = 2x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x^2 + x + 2 W(x) = x^2(2x^2 + x + 2) + 2x^2 + x + 2 W(x) = (x^2 + 1)(2x^2 + x + 2) Drugiego wielomianu niestety nie rozłożę, ponieważ nie napisałeś czy tam ma być -12 czy +12. Trzeba to poprawić ;) Teraz te równania: x^5 + 4x^3 - x^2 - 4 = 0 (rozkładamy na czynniki pierwsze) x^3(x^2 + 4) - x^2 - 4 = 0 -x^3(-x^2 - 4) - x^2 - 4 = 0 (-x^3 + 1)(-x^2 - 4) = 0 (żeby to wynosiło 0, albo pierwszy nawias wynosi 0, albo drugi) -x^3 + 1 = 0 lub -x^2 - 4 = 0 -x^3 = -1 -x^2 = 4 x^3 = 1 x^2 = -4 x = 1 Równanie sprzeczne. Zatem x = 1 Teraz to drugie: 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 = 0. Szczerze mówiąc, to jedyny sposób jaki przychodzi mi do głowy na rozwiązanie tego równania to skorzystanie z twierdzenia Bézout, więc skorzystam z tego twierdzenia. Niech W(x) = 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2. Dzielniki całkowite wyrazu wolnego 2 to: {-1, 1, 2, -2}. Szukamy czy jeden z nich jest pierwiastkiem równania: W(-1) = 2 * -1 + 7 * 1 + 7 * -1 + 2 = -2 + 7 - 7 + 2 = 0 Rzeczywiście -1 jest pierwiastkiem tego równania, zatem jak to twierdzenie nam mówi podzieli się przez wielomian P(x) = x + 1. Podzielmy go.: 2x^2 + 5x + 2 ___________________ (2x^3 + 7x^2 + 7x + 2) : (x + 1) -(2x^3 + 2x^2) ______________ (5x^2 + 7x) -(5x^2 + 5x) ___________ (2x + 2) -(2x + 2) _________ 0 Zatem otrzymujemy rozłożone na czynniki pierwsze: (2x^2 + 5x + 2)(x + 1) = 0 2x^2 + 5x + 2 = 0 delta = 25 - 16 delta = 9 x1 = -5 + pierwiastek z 9 / 4 = -5 + 3 / 4 = -0,5 x2 = -5 - pierwiastek z 9 / 4 = -5 - 3 / 4 = -2 LUB: x + 1 = 0 x = -1 Równanie ma trzy rozwiązania: x1 = -0,5 x2 = -1 x3 = -2. Myślę, że zrobiłem dobrze. Znak ^ oznacza do potęgi.
