Dana liczba całkowita jest dzielnikiem innej liczby całkowitej, jeżeli reszta z dzielenia przez tę liczbę wynosi 0 W związku z tym dzielniki występują parami 1 i -1, 2 i -2, 5 i -5 itd. Żeby to uprościć zazwyczaj wyznacza się tylko dzielniki naturalne, bo jeśli jakaś liczba "a" jest dzielnikiem liczby "x" to liczba przeciwna do liczby "a" również jest dzielnikiem liczby "x" Zad 1 a) 64: 64 = 2⁶, więc jej dzielnikami naturalnymi będą wszystkie potęgi liczby 2 (aż do 6): 1=2⁰, 2=2¹, 4=2², 8=2³, 16=2⁴, 32=2⁵, 64=2⁶ {Jeżeli mówimy o absolutnie wszystkich dzielnikach, to należy dodać także liczby przeciwne do dzielników naturalnych: -1, -2, -4, -8, -16, -32, -64} b) 48: 48 = 16·3 = 2⁴·3¹, więc jej dzielnikami (naturalnymi) są wszystkie iloczyny ich potęg: 2⁰·3⁰ = 1·1 = 1 2¹·3⁰ = 2·1 = 2 2²·3⁰ = 4·1 = 4 2³·3⁰ = 8·1 = 8 2⁴·3⁰ = 16·1 = 16 2⁰·3¹ = 1·3 = 3 2¹·3¹ = 2·3 = 6 2²·3¹ = 4·3 = 12 2³·3¹ = 8·3 = 24 2⁴·3¹ = 16·3 = 48 Czyli: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 c) 54: 54 = 2·27 = 2·3³ Dzielniki naturalne: 2⁰·3⁰ = 1·1 = 1 2⁰·3¹ = 1·3 = 3 2⁰·3² = 1·9 = 9 2⁰·3³= 1·27 = 27 2¹·3⁰ = 2·1 = 2 2¹·3¹ = 2·3 = 6 2¹·3² = 2·9 = 18 2¹·3³ = 2·27 = 54 Czyli: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 d) 0: Zero dzieli się bez reszty przez każdą liczbę (z wyjątkiem siebie) rzeczywistą, więc ma nieskończenie wiele dzielników. e) 333: 333 = 3·111 = 3·3·37 = 3²·37 Dzielniki naturalne: 3⁰·37⁰ = 1·1 = 1 3⁰·37¹ = 1·37 = 37 3¹·37⁰ = 3·1 = 3 3¹·37¹ = 3·37 = 111 3²·37⁰ = 9·1 = 9 3²·37¹ = 9·37 = 333 Czyli: 1, 3, 9, 37, 111, 333 zad. 2: 315059a Rozumiem, że 9, 6 i 4 to odrębne podpunkty {inaczej polecenie jest sprzeczne}. Przez 9: Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 9: tutaj: 3+1+5+0+5+9+a = 23+a Jedyną możliwą sumą podzielną przez 9 będzie 27 23+a=27 czyli a=4 Przez 6: Liczba jest podzielna przez 6 jeżeli jest podzielna jednocześnie przez 2 i przez 3, czyli jest parzysta (podzielność przez 2) i suma jej cyfr jest podzielna przez 3 (podzielność przez 3) Czyli tutaj 23+a musi być podzielne przez 3 Mamy trzy możliwości: 24, 27 i 30 23+a=24 to a=1 23+a=27 to a=4 23+a=30 to a=7 A ponieważ a musi być liczbą parzystą to mamy a=4 Przez 4: Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli liczba utworzona przez jej ostatnie dwie cyfry jest podzielna przez 4 Czyli tutaj liczba 9a musi być podzielna przez 4, więc może to być tylko 92 lub 96 Czyli: a=2 lub a=6 Liczba 315059a nie może być jednocześnie podzielna przez 9, 6, i 4, bo jak widać nie istnieje takie a, które spełniałoby wszystkie warunki podzielności.
