wystarczy po 3 podpunkty z kazdego zadania

3.47 a) Jeżeli   r = 1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x) , to ten wielomian jest podzielny przez ( x - 1)² = x² -2 x + 1 Wykonuję dzielenie W(x)  przez x² - 2x + 1   x²  + 2 --------------------------- x⁴ -2 x³ + 3 x² - 4x + 2   : (x² - 2x + 1) -x⁴ +2x³ - x² ------------------------------- ..........  2x² - 4x + 2 .......... -2x² + 4x - 2 ------------------------------- ....................  = 0 Zatem r = 1  jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x). b) Jeżeli  r = -1  jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu, to ten wielomian jest podzielny przez (x +1)² = x² +2x + 1 Wykonuje to dzielenie:   x² + 3 --------------------------- x⁴ + 2x³ + 4x² + 6x + 3  : ( x² +2x + 1) -x⁴ -2x³ - x² ---------------------------- ........... 3x² + 6x + 3 .......... -3x² - 6x - 3 --------------------------- ..................... = 0 Zatem r = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x) c) r = - 2  jest podwójnym piewiastkiem danego wielomianu jeżeli jest ten wielomian podzielny przez ( x + 2)² = x² + 4x + 4 Wykonuję to dzielenie:   x³  - 7 ---------------------------------------- x⁵ + 4 x⁴ + 4x³ - 7 x² - 28 x - 28   : ( x² + 4x + 4) - x⁵ -4 x⁴ - 4 x³ --------------------------------------- ................... -7 x² - 28 x - 28 .................... 7 x² + 28x + 28 ----------------------------------------- .................................. = 0 Zatem r = -2 jest podwójnym pierwiastkiem danego wielomianu. =========================================================== 3.76 a) x³ + 4x² - 2x - 8 = 0 x(x² - 2) + 4 ( x² - 2) = 0 (x +4)( x² - 2 ) = 0 (x +4) ( x -√2)( x + √2) = 0 x + 4 = 0  lub x - √2 = 0  lub  x + √2 = 0 x = - 4    lub  x = √2  lub   x = - √2 ================================== b) x³ - 3x² + 4x - 12 = 0 x ( x² + 4) - 3 (x² + 4) = 0 (x -3) ( x² + 4 ) = 0 x - 3 = 0 x = 3  , bo  x² + 4  > 0 dla dowolnej  liczby x ∈ R. ====== c) x⁵ + 4x³ - x² - 4 = 0 x² ( x ³ - 1) + 4 (x³ - 1 )  = 0 (x² + 4)( x³ - 1) = 0 (x² +  4) ( x -1)(x² + x + 1) = 0 x - 1 = 0 x = 1  , bo  x² + 4 > 0  oraz  x² + x + 1 > 0 ( Δ < 0 ) ======= ============================================== 3.111 a) (x² - x -6)(x² + 2x = 3) < 0 x² + 2x + 3 > 0 , bo Δ = 4 -4*1*3 = 4 - 12 = - 8 < 0 x² -x - 6 = (x +2)( x -3) < 0 <=> x ∈ ( -2 ; 3 ) Odp.  x ∈ ( -2 ; 3 ) ====================== c) (x² -1)(x² - 4)(x² - 9) ≤ 0 (x -1)(x +1)(x -2)(x +2)(x -3)(x +3) ≤ 0 Rysujrmy "tabelkę " i badamy znak tego iloczynu w poszczególnych przedziałach: ( -∞; -),(_3; -2),(-2; -1),((-1;1),(1;2),(2;3),(3 ; + ∞) Odp. x ∈ < -3; -2> u <-1; 1> u <2; 3> ===================================== d) (x² - 1)(x² - 3x + 8) < 0 Δ = 3² - 4*1*8 = 9 - 32 = - 23 < 0 , zatem (x² - 3x + 8) > 0 dla dow. x ∈ R x² - 1 = ( x +1)(x- 1) < 0 <=> x ∈ ( -1 ; 1) Odp.  x ∈ ( -1 ; 1 ) ============================================================ 3,113 a) x⁴ + 8 x³ + 12 x² ≥ 0 x²(x² + 8x + 12) ≥ 0 Δ = 8² - 4*1*12 = 64 - 48 = 16 √Δ = 4 x = [-8 -4]/2 = -6   lub   x = [ - 8 + 4]/2 = -4/2 = - 2 x²≥ 0  dla dowolnej liczby x ∈ R , zatem mamy Odp.  x ∈ ( - ∞ ; - 6 > u < -2; + ∞ ) ====================================== b) x³ - 3 x² + 3x - 9 ≤ 0 x(x² + 3) - 3 (x² + 3) ≤ 0 (x -3) (x² + 3) ≤ 0 x² + 3 > 0  dla dowolnej liczby x ∈ R, zatem (x -3)( x² + 3) ≤ 0 <=> x - 3 ≤ 0  <=> x ≤ 3 Odp,  x ∈ ( - ∞ ; 3 > ======================= c) 2x³ - 7 x² - 2x + 7 ≤ 0 2x(x² -1) - 7 (x² - 1) ≤ 0 (2x - 7)( x² - 1) ≤ 0 2( x - 3,5)(x +1)( x - 1) ≤ 0 Rysujemy tabelkę i w niej  badamy znak iloczynu. Otrzymujemy Odp. x ∈ ( - ∞; -1 > u < 1 ;  3,5 > ===============================================