Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba n³-n dzieli się przez 6.

n³ - n = n(n² - 1) = n (n-1) (n+1) = (n-1) n (n+1)   Otrzymaliśmy iloczyn trzech kolejnych liczb.   Jeśli n jest nieparzyste, to n-1 i n+1 są parzyste oraz jeśli n jest parzyste, to n-1 i n+1 są nieparzyste   stąd wniosek, że przynajmniej jedna z tych trzech liczb będzie wielokrotnością 2.   Wśród trzech kolejnych liczb któraś na pewno będzie wielokrotnością trójki, bo może zajść jeden z trzech wariantów (P - podzielne przez trzy, NP - niepodzielne przez 3):   n-3      n-2      n-1      n      n+1 ------------------------------------- P          NP       NP      P NP NP        P         NP      NP    P NP       NP        P NP    NP   (opieramy się na założeniu, że jeśli k jest podzielne przez trzy, czyli k=3m, to k+3 = 3m+3 = 3(m+1), czyli dopiero trzecia następna liczba jest również podzielna przez trzy).   Jeśli w iloczynie trzech kolejnych liczb naturalnych co najmniej jedna jest podzielna przez dwa oraz dokładnie jedna jest podzielna przez trzy, to ten iloczyn jest podzielny przez 6.