Elementy Euklidesa

Euklides żył w III wieku przed naszą erą w Aleksandrii.Jego głównym dziełem był podręcznik matematyczny pod tytułem "Elementy".

O życiu Euklidesa niewiele wiadomo. Żył w Aleksandrii, która wówczas skupiała wielu wybitnych matematyków. Euklides wykładał w Szkole Aleksandryjskiej. Był płodnym pisarzem, na co wskazuje nawet objętość "Elementów". Zajmował się rówież teorią muzyki, optyką (prawo odbicia światła, zasada prostolinijnego rozchodzenia się promieni świetlnych) oraz astronomią.

Elementy to niewątpliwie najważniejsza książka naukowa wszechczasów. Dowodzi tego fakt, że liczbą wydań drukiem (do 1900 roku ponad 1000) ustępuje, ze wszystkich książek, jedynie Biblii. Znana jest też we wszystkich językach świata ( jedynie język polski ustępuje tutaj np. suahili, gdyż mamy w nim tylko 8 - na 13 - ksiąg Elementów). Taka jej popularność bierze się stąd, iż jest to książka wzorcowa dla całej dedukcyjnej nauki, czyli nauki takiej, jaka była obdarzana tą nazwą od -800 do 1900 roku. Nawet zupełnie nie dotykające matematyki książki przez cały ten czas pisano na wzór Elementów, że wymienię tylko dzieło Ethica, modo geometrico exposita Barucha Spinozy (XVII w.).
Elementy Euklidesa - ta księga przeżyła ponad dwa tysiąclecia, ale nie straciła dziś jeszcze swego znaczenia ani w historii nauki, ani w samej matematyce. Przedstawiony w niej system geometrii euklidesowej obecnie jeszcze jest przedmiotem nauki we wszystkich szkołach świata i stanowi podstawę niemal całej praktycznej działalności ludzi. Na geometrii Euklidesa opiera się mechanika klasyczna, a apoteozą jej było ukazanie się w r. 1687 Zasad matematycznych filozofii naturalnej Newtona, w których prawa mechaniki ziemskiej i niebieskiej oraz fizyki ustanowione są w absolutnej przestrzeni euklidesowej.

Treść Elementów bynajmniej nie wyczerpuje geometrii elementarnej - przedstawiają one podstawy całej antycznej matematyki. Podsumowują rezultaty ponad 300-letniego jej rozwoju i jednocześnie zakładają podstawę pod dalsze badania. Następni matematycy powoływali się na twierdzenia Elementów jako na coś ostatecznie ustalonego. Jakie dziedziny matematyki Euklides obrał za elementy? Były nimi planimetria i stereometria, algebra geometryczna i rozwiązywanie równań kwadratowych, teoria liczb, nauka o stosunkach liczb i stosunkach wielkości, klasyfikacja niewymierności kwadratowych, metoda wyczerpywania.

Do Elementów nie weszły ani nauka o stożkowych, ani badania związane ze sławnymi zadaniami starożytności, ani kwadrowalne księżyce Hipokratesa z Chios. Nie ma tam również rozważań dotyczących rachunków przybliżonych. Tak więc Elementy nie stanowią encyklopedii matematyki antycznej. Cel, jaki przyświecał Euklidesowi przy pisaniu trzynastu ksiąg Elementów, był prawdopodobnie zbliżony do tego, jaki w naszych czasach postawił sobie N. Bourbaki redagując swe wielotomowe Elementy matematyki, mianowicie: podać opis tych podstawowych elementów, na podstawie których rozwinąć można wszystkie rozdziały współczesnej mu matematyki; nawiasem mówiąc, tytuł traktatu N. Bourbakiego nawiązuje bezpośrednio do Euklidesa (w języku francuskim księga Euklidesa nosi tytuł Les elements).

Myśl napisania Elementów nie pochodzi od samego Euklidesa. Jak podaje Proklos, przed Euklidesem były już dzieła tego rodzaju. Pierwsze Elementy napisał Hipokrates z Chios, a następnie Leon i Theudios, należący do szkoły Platona. Niewątpliwie także przed Euklidesem uformowały się określone tradycje, określone schematy, według których pisano takie księgi. Lecz Elementy Euklidesa okazały się widocznie o tyle doskonalsze od swych poprzedników, że całkiem je zakasowały i wyparły z obiegu. W każdym razie następni matematycy powoływali się wyłącznie na Elementy Euklidesa.

Elementy Euklidesa składają się z trzynastu ksiąg. Każda z ksiąg zaczyna się od definicji; oprócz tego na początku pierwszej podanych jest 5 postulatów i 5 aksjomatów (w niektórych tekstach podane są jeszcze 4 aksjomaty).

Definicje Elementów podzielić można na dwie grupy: definicje robocze, stosowane przy budowie teorii (na przykład, definicja równości dwóch stosunków lub definicja kąta prostego) i opisowe, z których dalej nie korzysta się (na przykład:
"punktem jest to, co nie ma części" albo "linia, to długość bez szerokości"). Te ostatnie były może próbą wprowadzenia wymiaru wielkości: punktu -jako wielkości zerowymiarowej, linii-jako wielkości jednowymiarowej. Obecnie, według D. Hilberta, takie podstawowe pojęcia, jak punkt, prosta, płaszczyzna, definiuje się ryczałtem za pomocą systemu aksjomatów, przy czym przez punkty rozumieć można nie tylko te geometryczne wyobrażenia, jakie z nimi wiążemy, ale także, na przykład, parę liczb rzeczywistych (x, y), przez prostą - zbiór par, czyniących zadość równaniu Ax+By+C = O, itd.



Postulaty Elementów są następujące:
 Od każdego punktu do każdego punktu poprowadzić można prostą.
 Ograniczoną prostą można w sposób ciągły przedłużać wzdłuż prostej.
 Z każdego środka każdą rozwartością można opisać koło.
 Wszystkie kąty proste są sobie równe.
 Jeśli prosta, przecinająca dwie proste, tworzy kąty wewnętrzne jednostronne niniejsze od dwóch prostych, to te dwie proste, przedłużone nieograniczenie, spotkają się z tej strony, gdzie kąty są mniejsze od dwóch prostych" (ł).

Pierwsze trzy postulaty opisują najprostsze konstrukcje, jakie wykonać można za pomocą cyrkla i liniału. Czwarty postulat zabezpiecza jednotliwość przedłużenia prostej. Wreszcie piąty postulat - to sławny postulat o równoległych . Na pierwszy rzut oka nie ma on związku z konstrukcjami, w rzeczywistości jednak zapewnia istnienie punktu przecięcia dwóch prostych, spełniających sformułowane warunki.
"Piąty postulat zadziwiał uczonych swym skomplikowanym sformułowaniem. Podobny był raczej do twierdzenia, niż do postulatu. Już w starożytności próbowano zastąpić go innym, bardziej oczywistym stwierdzeniem. U Proklosa (V w. n.e.), na przykład, znajdujemy to sformułowanie postulatu o równoległych, które weszło obecnie do wszystkich szkolnych podręczników: przez punkt leżący poza prostą w płaszczyźnie wyznaczonej przez ten punkt i tę prostą, można poprowadzić tylko jedną prostą nie przeci nąjącą danej. Euklides niewątpliwie musiał znać różne formy postulatu o równoległych. Dlaczego wybra właśnie tak skomplikowaną? Bardzo niedawno temu na wszystkie te sprawy rzucono nowe światło W roku 1966, opierając się na analizie niektórych tekstów Arystotelesa, I. Tóth doszedł do wniosku, ź< w matematyce antycznej przed Euklidesem zajmowano się już systemami geometrycznymi, w któryd suma kątów trójkąta nie była równa dwóm kątom prostym, lecz większa lub mniejsza od tej wielkości Takie systemy w XIX w. nazwano nieeuklidesowymi. Według I. Tótha, Grecy znali wiele twierdzeń geo mętni nieeuklidesowej".

Wszystkie aksjomaty, oprócz czwartego, dotyczą nie tylko wielkości geometrycznych, ale także liczb w ogóle, wszystkich wielkości czyniących zadość aksjomatom Eudoksosa. Czwarty aksjomat - "przystające są sobie równe" - jest jedynym, w którym mowa jest o możliwości ruchu - przystawania.

Wybór postulatów i aksjomatów jest bardzo trafny. Prawie wszystkie weszły one do nowoczesnej aksjomatyki. Postulaty i aksjomaty Elementów nie wystarczają jednak do dedukcyjnego zbudowania geometrii. Euklides nie sformułował wielu stwierdzeń, z których w dalszym ciągu korzysta. Nie ma w Elementach, na przykład, postulatów stereometrycznych. Z wyjątkiem aksjomatu czwartego, nie ma w nich także aksjomatów ruchu. Niemniej w geometrii Euklidesa bada się w istocie niezmienniki ruchu ciała sztywnego.

Dlatego przy konstruowaniu geometrii należy koniecznie albo określić, jakie ruchy są dopuszczalne, albo wprowadzić aksjomaty przystawania, za pomocą których można by określić równość figur, i wtedy ruchami będą wzajemnie jednoznaczne przekształcenia punktowe, przeprowadzające proste w proste i nie naruszające równości figur. U Euklidesa nie ma ani jednego, ani drugiego. W dowodach jednak posługuje się on przemieszczaniem figur (na przykład, w twierdzeniu I, 4, w dowodzie cechy przystawania trójkątów mających równe dwa boki i kąt między nimi), a w definicjach sfery, stożka i walca - obrotem (odpowiednio półokręgu, trójkąta i prostokąta). Sformułowanie aksjomatów przedstawiało wówczas trudności prawie nie do pokonania. Z braków tych aksjomatów Euklides zapewne zdawał sobie sprawę i starał się, jak mógł, najmniej posługiwać się ruchem.

U Euklidesa jedno tylko z twierdzeń (podane w postaci czwartej definicji V księgi) dotyczy tego, co teraz nazywamy aksjomatem ciągłości - jest to aksjomat Eudoksosa-Archimedesa. Drugim aksjomatem tej grupy mógłby być aksjomat o istnieniu punktu wspólnego ciągu zawartych jeden w drugim zstępujących odcinków, czyli aksjomat zupełności Dedekinda. Aksjomatów tych nie tylko że nie ma w Elementach, lecz nigdzie nie korzysta się z nich w tekście. Odnosi się wrażenie, że Euklides nie miał określonego poglądu na ciągłość. W jego geometrii nie da się udowodnić istnienia kwadratu równoważnego kołu, gdyż taki kwadrat nie może być zbudowany cyrklem i liniałem. Nie przeczy temu bynajmniej okoliczność, że zadania konstrukcyjne Euklides rozwiązuje wyznaczając punkty przecięcia prostych i okręgów, tzn. jak gdyby korzysta z ciągłości tych linii. Istotnie, jak widzieliśmy, każda taka konstrukcja jest równoważna rozwiązaniu normalnego łańcucha równań kwadratowych. Wszystkie konstrukcje Euklidesa wykonane są nad minimalnym ciałem, w którym rozwiązalne jest dowolne równanie . Ciało takie nazywamy obecnie pitagorejskim i oznaczamy przez . O zbudowaniu takiego ciała wspomina Euklides w księdze X; różnica polega właściwie tylko na tym, że Euklides bierze pod uwagę jedynie liczby dodatnie. Dlatego musi rozpatrywać różne przypadki szczególne, zależnie od wzajemnego położenia punktów na prostej. W księgach V i VI Euklides operuje stosunkiem dowolnych wielkości - buduje tam, w zasadzie, teorię liczby rzeczywistej i teorię miary. W księdze XII znajduje stosunki pól dwóch kół, stożka i walca, ostrosłupa i graniastosłupa, wreszcie dwóch kuł. Przy tym jednak wypada mu wyjść jak gdyby z ciała pole koła, na przykład, nie należy do tego ciała Q. Jednak i tutaj Euklides rozważa tylko takie stosunki, które należą do Q. Nie zajmuje się bowiem stosunkiem pola koła do kwadratu średnicy (tzn. ), lecz wykazuje, że stosunek pól dwóch kół jest równy stosunkowi kwadratów ich średnic, tzn. należy do o ile same średnice są wielkościami należącymi do .

Wpływ Elementów na rozwój matematyki był kolosalny. Archimedes, Apoloniusz i inni antyczni matematycy opierali się na nich w swych badaniach w zakresie matematyki i mechaniki. W końcu VIII i na początku IX w. pojawiły się pierwsze przekłady Elementów na język arabski, w pierwszej ćwierci XII w. - na język łaciński. Zarówno w krajach islamu, jak w Europie wieków średnich. Elementy stanowiły podręczną księgę każdego poważnego matematyka; wielokrotnie przepisywano je, wydawano drukiem, komentowano, a także przerabiano dla celów dydaktycznych.

Pierwsze wydanie Elementów w języku rosyjskim wyszło w r. 1739, ostatnie - w latach 1948-1950. W literaturze historyczno-matematycznej dotąd nie przestają ukazywać się coraz to nowe badania, zarówno nad poszczególnymi miejscami Elementów, jak nad ich ogólną strukturą jako pewnej całości. Z każdą epoką rozwoju naszej nauki wiązało się zresztą coraz głębsze zrozumienie wielkiej księgi Euklidesa.

Euklides jest człowiekiem, który osiągnął chyba najbardziej pożądany rodzaj nieśmiertelności - nie utrwalił się jego wizerunek, jego przywary czy ułomności, jego związki rodzinne i nie tylko - wiecznym stało się jego dzieło. W naszym plotkarskim świecie nawet greccy herosi nie zyskali tak godnego szacunku uwiecznienia. Dlatego też i jego jubileusz wypada czcić w rocznicę powstania jego dzieła.