PIerwsze dwa równania bazują na fakcie, że potęgi o wspólnych podstawach są równe TYLKO wtedy gdy ich wykładniki są takie same. Oznacza to, że jeśli mamy dwie potęgi o tych samych wykładnikach [latex]a^x = a^y[/latex], to liczby te są równe tylko wtedy gdy x=y. Pierwsze równanie jest najprostsze i możemy zauważyć, że: [latex]2^{3x+2} = 2^{x-1}[/latex] jest równoważne temu: [latex]3x+2 = x-1[/latex]. Teraz tylko upraszczamy i wyliczamy x: [latex]x = frac{-3}{2}[/latex] Drugie równanie jest podobne, ale widzimy,że podstawy nie są takie same. Jednak można zauważyć, że obie są potęgami dwójki, czyli możemy sobie zapisać np coś takiego (ogólnie): [latex]8^a = (2^3)^a = 2^{3a}[/latex] Tak samo postępujemy z drugim przykładem i przekształcając go osiąga on postać: [latex]2^{2(x+7)} = 2^{3(2x-5)}[/latex] i znowu możemy zastosować poprzednią metodę uzyskując: [latex]2(x+7) = 3(2x-5)[/latex]. Podobnie jak w pierwszym przykładzie wyznaczamy x (co już pominę bo jest to całkowicie analogiczne) Nierówności niestety wymagają wykresu dlatego pozwolę sobie tylko dać wskazówkę. Masz funkcję wymierną, gdzie jest licznik i mianownik w postaci wielomianów dwugiego stopnia. Iloraz dwóch liczb jest większy od 0 wtedy kiedy obie te liczby są dodatnie albo obie ujemne i tylko wtedy. Innymi słowy musisz sprawdzić w jakich przedziałach licznik jest dodatni, a w jakich ujemny i to samo zrobić z mianownikiem, a rozwiązaniem są sumy wszystkich przedziałów gdzie licznik i mianownik jednocześnie mają dodatni znak albo ujemny. Zostają równania [latex]sin(x) + cos^2(x) + 1 = 0[/latex]. Korzystając z jedynki trygonometrycznej [latex]sin^2(x) + cos^2(x) = 1[/latex] możemy wyłuskać kwadrat kosinusa i podstawić go do pierwszego równania [latex]sin(x) + 1 - sin^2(x) + 1 = 0[/latex], czyli: [latex]-sin^2(x) + sin(x) + 2 = 0[/latex] (pomnóżmy obie strony przez -1 aby pozbyć się brzydkiego minusa na początku: [latex]sin^2(x) - sin(x) - 2 = 0[/latex] Na końcu stosujemy podstawienie [latex] t = sin(x)[/latex] i rozwiązujemy równanie kwadratowe: [latex]t^2 - t - 2 = 0[/latex], którego rozwiązaniami są 2 i -1. Są zatem dwa rozwiązania, teraz cofamy się krok wstecz i przypominamy, że robiliśmy podstawienie i staramy się teraz je rozwikłać: [latex]sin(x) = 2[/latex] oraz [latex]sin(x) = -1[/latex]. Od razu widać, że pierwsze równanie nie ma rozwiązań, bo sinus nigdy nie przekracza 1, więc nie istnieje takie x, które sprawiłoby, aby sinus wyniósł 2. Drugie równanie z kolei prowadzi do rozwiązania okresowego. Zobaczmy, że w sinusie -1 pojawia się począwszy od [latex]frac{3pi}{2}[/latex] i potem co każdy okres, czyli rozwiązaniem jest: [latex]x = frac{3pi}{2} + 2kpi[/latex] gdzie k to dowolna liczba całkowita. Ostatnie równanie rozwiązuje się identycznie po tym jak zwrócisz uwagę, że: [latex]cos(2x) = 2cos^2(x) - 1[/latex]... (tożsamość trygonometryczna: patrz wikipedia)... Potem stosujesz ten sam schemat co w poprzednim przykładzie.
