Witam. Zadanie rozwiążemy przy pomocy indukcji.Ogólnie z indukcją wiążemy hasło 'od szczegółu do ogółu' i jest ono przeciwieństwem dedukcji (w tym specjalizował się Sherlock Holmes), czyli 'od ogółu do szczegółu' (korzystając z wielu rozmaitych przesłanek potrafił wyłonić prawidłowy wniosek).Dowodzenie indukcyjne składa się z czterech kroków. Na początku sprawdzimy prawdziwość tezy dla początkowych liczb naturalnych, potem założymy, że skoro teza (czyli to co chcemy udowodnić) jest prawdziwa dla pewnej liczby naturalnej, to jest także prawdziwa dla następnej.W ten sposób właśnie przechodzimy 'od szczegółu do ogółu'. Tw.Dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba l=2n³+n jest podzielna przez 3 Dowód indukcyjny: 1.Sprawdzamy prawdziwość tw. dla n=0 i n=1 l₀=2·0³+0=0 jest podzielne przez 3 l₁=2·1³+1=3 jest podzielne przez 3 Tw. jest prawdziwe dla n=0 i n=1 2.Zakładamy prawdziwość tw.dla n-pewnej liczby naturalnej w postaci ogólnej l(n)=2n³+n=3p, dla p∈N (każdą liczbę podzielną przez 3 możemy dla ułatwienia zapisać w postaci 3p) 3.Twierdzimy,że tw. jest prawdziwe dla n+1-czyli dla pewnej liczby naturalnej w postaci ogólnej, następującej po liczbie naturalnej n l(n+1)=2(n+1)³+(n+1)=3q 4.Dowód: l(n+1)=2(n+1)³+(n+1)=2(n³+3n²+3n+1)+n+1=2n³+6n²+6n+2+n+1= =(2n³+n)+(6n²+6n+3)⇒korzystając z założenia indukcyjnego 2n³+n=3p⇒ ⇒l(n+1)=3p+3(2n²+2n+1)⇒przyjmijmy,że 2n²+2n+1=r, dla r∈N⇒ ⇒l(n+1)=3p+3r=3(p+r)=3q Udowodniliśmy,że tw. jest prawdziwe dla n∈N. Powodzenia.
