Zadanie  polega na obliczeniu granic ciągów treść i przykłady w załączniku Proszę o jak najszybsze rozwiązanie.

przykład 1 [latex]lim_{n ightarrow infty} (1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)) = lim_{n ightarrow infty} left(frac{1 + 2n - 1}{2}*n ight) = lim_{n ightarrow infty} left(frac{2n}{2}*n ight) = lim_{n ightarrow infty} (n^2) = +infty [/latex]   przykład 2 [latex]lim_{n ightarrow infty} left(frac{4^{n - 1} - 5}{2^{2n} - 7} ight) = lim_{n ightarrow infty} left(frac{4^{n - 1} - 5}{4^{n} - 7} ight) = lim_{n ightarrow infty} left(frac{frac{1}{4}4^{n} - 5}{4^{n} - 7} ight) = lim_{n ightarrow infty} left(frac{4^nleft(frac{1}{4} - frac{5}{4^n} ight)}{4^{n}left(1 - frac{7}{4^n} ight)} ight) = lim_{n ightarrow infty} left(frac{frac{1}{4} - frac{5}{4^n}}{1 - frac{7}{4^n}} ight) = frac{frac{1}{4} - 0}{1 - 0} = frac{1}{4}[/latex]   przykład 3 [latex]lim_{n ightarrow infty} frac{5*3^{2n} - 1}{4*9^n+7} = lim_{n ightarrow infty} frac{5*9^{n} - 1}{4*9^n+7} = lim_{n ightarrow infty} frac{9^nleft(5 - frac{1}{9^{n}} ight)}{9^nleft(4+frac{7}{9^{n}} ight)} = lim_{n ightarrow infty} frac{5 - frac{1}{9^{n}}}{4+frac{7}{9^{n}}} = frac{5 - 0}{4 + 0} = frac{5}{4}[/latex]   przykład 4 [latex]lim_{n ightarrow infty} frac{2^{n + 1} - 3^{n + 2}}{3^{n + 2}}= lim_{n ightarrow infty} frac{3^{n + 2}left(frac{2^{n + 1}}{3^{n + 2}} - 1 ight)}{3^{n + 2}}= lim_{n ightarrow infty} left(frac{2^{n + 1}}{3^{n + 2}} - 1 ight)= lim_{n ightarrow infty} left(frac{2}{9}*left(frac{2}{3} ight)^n - 1 ight) = 0 - 1 =- 1[/latex]   przykład 5 [latex]lim_{n ightarrow infty} sqrt[n]{3^n + 2^n} = lim_{n ightarrow infty} 3sqrt[n]{1 + left(frac{2}{3} ight)^n}\ lim_{n ightarrow infty} 3sqrt[n]{1 + left(frac{2}{3} ight)^n} geq lim_{n ightarrow infty} 3sqrt[n]{1 + 0^n} = lim_{n ightarrow infty} 3sqrt[n]{1} = 3\ lim_{n ightarrow infty} 3sqrt[n]{1 + left(frac{2}{3} ight)^n} leq lim_{n ightarrow infty} 3sqrt[n]{1 + 1^n} = lim_{n ightarrow infty} 3sqrt[n]{2} = 3*1 = 3\ lim_{n ightarrow infty} sqrt[n]{3^n + 2^n} = 3[/latex]   przykład 6 [latex]lim_{n ightarrow infty} sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} = lim_{n ightarrow infty} 7sqrt[n]{left(frac{3}{7} ight)^n + left(frac{5}{7} ight)^n + 1}\ lim_{n ightarrow infty} 7sqrt[n]{left(frac{3}{7} ight)^n + left(frac{5}{7} ight)^n + 1} geq lim_{n ightarrow infty} 7sqrt[n]{0^n + 0^n + 1} = lim_{n ightarrow infty} 7sqrt[n]{1} = 7\ lim_{n ightarrow infty} 7sqrt[n]{left(frac{3}{7} ight)^n + left(frac{5}{7} ight)^n + 1} leq lim_{n ightarrow infty} 7sqrt[n]{1^n + 1^n + 1} = lim_{n ightarrow infty} 7sqrt[n]{3} = 7*1 = 7\ lim_{n ightarrow infty} sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} = 7[/latex]   przykład 7 [latex]lim_{n ightarrow infty} sqrt{left(frac{2}{9} ight)^nleft(frac{1}{3} ight)^nleft(frac{7}{9} ight)^n} = lim_{n ightarrow infty} sqrt{frac{2^n}{9^n}*frac{1^n}{3^n}*frac{7^n}{9^n}} = lim_{n ightarrow infty} sqrt{frac{(2*1*7)^n}{(9*9*3)^n}} = lim_{n ightarrow infty} sqrt{frac{(14)^n}{(243)^n}} = lim_{n ightarrow infty} left(frac{14}{243} ight)^{frac{n}{2}} = 0[/latex]