Zad. 1 a)[latex]2W(x)-G(x)=-4x^{3}+6x^{2}-12x-6-6x^{3}+4x^{2}+4x-5=[/latex] [latex]=-10x^{3}+10x^{2}-8x-11[/latex] [latex]G(x)-W(x)=6x^[3}-4x^{2}-4x+5+2x^{3}-3x^{2}+6x+3=[/latex] [latex]=8x^{3}-7x^{2}+2x+8[/latex] b) [latex]W(frac{2}{3})=-2*frac{8}{27}+3*frac{4}{9}-6*frac{2}{3}-3=[/latex] [latex]=-frac{16}{27}+frac{4}{3}-4-3=-frac{16}{27}+frac{36}{27}-7=[/latex] [latex]=frac{20}{27}-7=-6frac{7}{27}[/latex] [latex]G(-sqrt{3})=6*(-3sqrt{3})-4*3+4*sqrt{3}+5=[/latex] [latex]=-18sqrt{3}-12+4sqrt{3}+5=[/latex] [latex]=-14sqrt{3}-7[/latex] Zad. 2 a) [latex]2x^{3}-6x^{2}+x-3=x(2x^{2}+1)-3(2x^{2}+1)=(2x^{2}+1)(x-3) [/latex] [latex](2x^{2}+1)(x-3)=0[/latex] czyli [latex](2x^{2}+1)=0[/latex] lub [latex](x-3)=0[/latex] [latex](2x^{2}+1) eq0[/latex] ponieważ [latex](2x^{2} eq-1[/latex] tzn. jeżeli nie miałeś liczb zespolonych to nie ma pierwiastka z liczby ujemnej. stąd [latex]x=3[/latex] będzie rozwiazaniem. b) [latex]2x^{3}-x^{2}-98x+49=2x(x^{2}-49)-(x^{2}-49)=(x^{2}-49)(2x-1) [/latex] [latex](x^{2}-49)(2x-1)=0 [/latex] czyli [latex](x^{2}-49)=0[/latex] lub [latex](2x-1)=0 [/latex] stąd [latex]x^{2}=49[/latex] lub [latex]2x=1[/latex] Rozwiazaniem będą liczby: [latex]x=7[/latex], [latex]x=-7[/latex],[latex]x=frac{1}{2}[/latex] c) [latex]2x^{3}+3x^{2}-32x-48=2x(x^{2}-16)+3(x^{2}-16)=(x^{2}-16)(2x+3) [/latex] [latex](x^{2}-16)(2x+3) =0[/latex] [latex](x^{2}-16)=0[/latex] lub [latex](2x+3) =0[/latex] Rozwiazaniem będą liczby: [latex]x=4[/latex], [latex]x=-4[/latex],[latex]x=-frac{3}{2}[/latex] Zad. 3 a) [latex]W(x)=2x^{4}+3x^{3}-9x^{2}=x^{2}(2x^{2}+3x-9)[/latex] Aby rozłożyć [latex](2x^{2}+3x-9)[/latex] obliczamy deltę [latex]Delta=b^{2}-4ac=9+72=81[/latex] [latex]x_1=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}=frac{-3-9}{4}=-3[/latex] [latex]x_2=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}=frac{-3+9}{4}=frac{3}{2}[/latex] Stąd [latex]W(x)=2x^{2}(x+3)(x-frac{3}{2}[/latex] Ta "2" z przodu pojawiła się ponieważ jest to współczynnik "a" z równania kwadratowego. b) [latex]G(x)=(3x^{2}-8x-3)(x^{3}-27)[/latex] Do pierwszego nawiasu znów liczymy deltę: [latex]Delta=b^{2}-4ac=64+36=100[/latex] [latex]x_1=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}=frac{8-10}{6}=-frac{1}{3}[/latex] [latex]x_2=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}=frac{8+10}{6}=3[/latex] Drugi nawias ze wzoru skróconego mnozenia zapiszemy następująco: [latex](x^{3}-27)=(x-3)(x^{2}+3x+9)[/latex] [latex](x^{2}+3x+9)[/latex] nie da się rozbić bardziej ponieważ delta wychodzi ujemna Wielomian ma więc postać: [latex]G(x)=3(x+frac{1}{3})(x-3)(x-3)(x^{2}+3x+9)[/latex] c) [latex]G(x)=x^{4}-6x^{3}+8x-48=x(x^{3}+8)-6(x^{3}+8)=[/latex] korzystamy znów ze wzorów skróconego mnożenia [latex]=(x^{3}+8)(x-6)=(x+2)(x^{2}-2x+4)(x-6)[/latex] Środkowego nawiasu nie da się rozbić, ponieważ delta wychodzi ujemna, więc jest to ostateczna postać wielomianu
