Zad.1 [latex]a_{n}=-n^{2}+6n+23[/latex] [latex]a_{4}=-16+24+23=31[/latex] [latex]a_{8}=-64+48+23=7[/latex] [latex]a_{n+2}=-(n+2)^{2}+6(n+2)+23=[/latex] [latex]=-n^{2}-4n-4+6n+12=-n^{2}+2n+8[/latex] [latex]a_{n+1}=-(n+1)+6(n+1)+23=-n^{2}-2n-1+6n+6=-n^{2}+4n+5[/latex] Zad.2 a) [latex]a_{n}=-5n+1[/latex] [latex]5n+1=3[/latex] [latex]5n=2[/latex] [latex]n=frac{2}{5} [/latex] sprzczne, ponieważ n jest liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg nie ma wyrazów równych 3. b) [latex]a_{n}=-3n+6[/latex] [latex]-3n+6>0[/latex] [latex]-3n>-6[/latex] [latex]n<2[/latex] Wyrazem dodatnim jest tylko pierwszy wyraz ciągu. c) [latex]a_{n}=n^{2}-12n[/latex] [latex]n^{2}-12n<0[/latex] [latex]n(n-12)<0[/latex] [latex]nepsilon(0,12)[/latex] Wyrazami ujemnymi, będą wyrazy 1,2,3,...11 (pierwszy, drugi,...jedenasty). Zad.3 [latex]a_{5}=7 ,a_{9}=72 [/latex] Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: [latex]a_{n+1}=a_{n}+r[/latex] [latex]a_{9}=a_{5}+4r[/latex] [latex]72=7+4r[/latex] [latex]4r=65[/latex] [latex]r=16,25[/latex] [latex]a_{5}=a_{1}+4r[/latex] [latex]7=a_{1}+65[/latex] [latex]a_{1}=-58[/latex] Wyraz ogólny [latex]a_{n}=-58+16,25*(n-1)=16,25*n-74,25[/latex] [latex]a_{28}=16,25*28-74,25=380,75[/latex] [latex]S_{28}=frac{a_{1}+a_{28}}{2}*28=[/latex] [latex]frac{-58+380,75}{2}*28=4518,5[/latex] Zad.4 [latex]a_{1}=16, q=frac{1}{3}[/latex] [latex]a_{n}=a_{n-1}*q[/latex] [latex]a_{12}=a_{1}*q^{11}=16*(frac{1}{3})^{11}=frac{16}{3^{11}}[/latex] [latex]S_{28}=frac{a_{1}(1-q)^{28}}{1-q}=[/latex] [latex]frac{16*(frac{2}{3})^{28}}{(frac{2}{3})}=[/latex] [latex]=16*(frac{2}{3})^{27}[/latex] Zad.5 Patrz załącznik - rysunek Mamy [latex]tg40^{o}=frac{|BC|}{|AC|}[/latex] [latex]0,84=frac{|BC|}{36}[/latex] [latex]|BC|=36*0,84=30,24[/latex] [latex]cos40^{o}=frac{|AC|}{|AB|}[/latex] [latex]0,77=frac{36}{|AB|}[/latex] [latex]|AB|=frac{36}{0,77}[/latex] [latex]|AB|=46,75[/latex] Zad.6 Rysunek w załączniku. [latex]sin60^{o}=frac{|BC|}{|AB|}[/latex] [latex]frac{sqrt{3}}{2}=frac{|BC|}{12}[/latex] [latex]|BC|=6sqrt{3}=10,4[/latex] Drabina jest oparta na wysokości 10,4 metra. Zad.7 [latex]frac{sin^{2}60-3tg^{2}30^{o}}{2cos30^{o}-1}=[/latex] [latex]frac{(frac{sqrt{3}}{2})^{2}-3*(frac{sqrt{3}}{3})^{2}}{2*frac{sqrt{3}}{2}-1}=[/latex] [latex]=frac{frac{3}{4}-1}{sqrt{3}-1}=[/latex] [latex]frac{-frac{1}{4}}{sqrt{3}-1}*frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}+1}=[/latex] [latex]frac{-frac{1}{4}(sqrt{3}+1)}{3-1}=[/latex] [latex]frac{-sqrt{3}-1}{8}[/latex]
