MATURA POZIOM ROZSZERZONY PLANIMETRIA Zadanie w załączniku

Trójkąty ACD i BCD mają wspólną podstawę i wspólną wysokość, więc mają jednakowe pola, tzn.: [latex]P_{ADC}=P_{BDC}=72+24=96\\P_{BOC}=P_{BDC}-P_{DOC}=96-24=72[/latex] Jeżeli dwa trójkąty mają wspólną wysokość i jeden wspólny bok, a ich podstawy mają jeden koniec wspólny, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw, tzn. z powyższego rysunku: [latex]frac{P_{DOC}}{P_{AOD}}=frac{|OC|}{|AO|}=frac{P_{BOC}}{P_{BOA}}\\frac{24}{72}=frac{72}{P_{BOA}}\\P_{BOA}=216\\P_{ABCD}=72+24+72+216=384[/latex]

Oznaczenia jak na rysunku Trójkąty ABD i ABC mają równe pola (AB - wspólna podstawa, wysokość poprowadzona na podstawę AB z wierzchołka D jest równa wysokości poprowadzonej z wierzchołka C) [latex]P_1=P_{Delta AOD}=P_{ABD}-P_{Delta ABO}=P_{ABC}-P_{Delta ABO}=P_{Delta BOC}=P_1[/latex] Obliczam skalę podobieństwa trójkątów ABO i DOC Trójkąty ABO i DOC są podobne w skali k [latex]|angle AOB|=|angle DOC|[/latex] - kąty wierzchołkowe są równe [latex]|angle OAB|=|angle OCD|[/latex] - kąty naprzemianlegle są równe [latex]P_2=frac{bh}{2}=24[/latex] [latex]P_1+P_2=frac{bcdot(h+kh)}{2}[/latex] [latex]frac{bcdot(h+kh)}{2}=24+72[/latex] [latex]frac{bhcdot(1+k)}{2}=96[/latex] [latex]frac{bh}{2}cdot(1+k)=96[/latex] [latex]24cdot(1+k)=96 /:24[/latex] [latex]1+k=4[/latex] [latex]k=4-1[/latex] [latex]k=3[/latex] Obliczam pole trójkąta [latex]ABO[/latex] [latex]frac{P_3}{P_2} =k^2[/latex] [latex]frac{P_3}{24} =3^2[/latex] [latex]frac{P_3}{24} =9 /cdot24[/latex] [latex]P_3=216[/latex] Obliczam pole trapezu [latex]P=2P_1+P_2+P_3[/latex] [latex]P=2 cdot 72+24+216[/latex] [latex]P=144+24+216[/latex] [latex]P=384[/latex]