MATURA POZIOM ROZSZERZONY PLANIMETRIA Zadanie w załączniku

Obliczmy pole tego trójkąta ze wzoru Herona: [latex]p=frac{13+14+15}{2}=21\\P_{ riangle}=sqrt{21cdot(21-13)cdot(21-14)cdot(21-15)}=84[/latex] Dorysujmy drugi trójkąt, który będzie odbiciem symetrycznym podanego trójkąta względem boku AB. Otrzymamy wtedy okrąg wpisany w deltoid. Pole tego deltoidu jest oczywiście równe [latex]P_{lozenge}=84cdot2=168[/latex], natomiast jego obwód to [latex]Obw_{lozenge}=13+13+15+15=65[/latex]. Teraz możemy zastosować wzór na pole wykorzystujący promień okręgu wpisanego: [latex]P_{lozenge}=frac12cdot{}Obw_{lozenge}cdot{}r\\168=frac12cdot56cdot{}r\\168=28r\\r=6[/latex]

Oznacz środek okręgu jako O. Połącz O z C i poprowadź promienie na r na bok AC i BC. p=(13+14+15):2=42:2=21 Obliczam pole trójkąta [latex]P=sqrt{21cdot(21-13)cdor(21-14)cdot(21-15)} \ \ P=sqrt{21cdot8cdot7cdot6} \ \ P=84[/latex] Obliczam r [latex]P=P_{Delta AOC}+P_{Delta OBC} \ \ P=frac{|AC|r}{2}+frac{|BC|r}{2}\ \ frac{13r}{2}+frac{15r}{2}=84 \ \ frac{28r}{2}=84 \ \ 14r=84 /:14\ \ r=6[/latex]