Zad. 1 (5 - 3)(4 - 1) = 2 · 3 = 6, liczba przeciwna to - 6 Odp. B Zad. 2 (3 - 4) : (5 - 3)= - 1 : 2 = - ½ liczba odwrotna to - 2 Odp. C Zad. 3 [latex]P = frac{ah}{2} / cdot 2[/latex] [latex]2P = ah / : h[/latex] [latex]a = frac{2P}{h}[/latex] Odp. A Zad. 4 A. Każde dwa prostokąty są podobne – fałsz, bo prostokąty są podobne wtedy, gdy stosunek długości dwóch prostopadłych boków jednego prostokąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków drugiego prostokąta. B. Każde dwa trójkąty prostokątne są podobne - fałsz, bo trójkąty są podobne wtedy , gdy ich odpowiednie boki są parami proporcjonalne. C. Jeżeli dwie figury nie są przystające to są podobne – fałsz, bo dwie figury są podobne wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą. D. Każde dwa trójkąty równoboczne są podobne - prawda, bo trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, a zatem odpowiednie boki są parami proporcjonalne. Odp. D Zad. 5 Jeżeli a ≠ 0 jest wartością dokładną, a a₀ jej przybliżeniem, to liczba |a – a₀| jest błędem bezwzględnym przybliżenia. |3547 - 3600| = |- 53| = 53 Odp. C Zad. 6 cena płyty przed obniżką : 80 zł cena płyty po obniżce: 60 zł x to procent obniżki 80 – x·80 = 60 - 80x = 60 - 80 - 80x = - 20 /:(- 80) [latex]x = frac{-20}{-80} = frac{1}{4} = frac{25}{100} = 25 \%[/latex] Odp. B Zad. 7 cena 1 kg truskawek w Toruniu: 4 zł cena 1 kg we Włocławku : 2,5 zł x to procent różnicy cen 4 - 2,5 = 1,5 x · 2,5 = 1,5 /·10 25x = 15 /:25 [latex]x = frac{15}{25} = frac{60}{100} = 60 \%[/latex] Odp. C Zad. 8 ½a = 50% b ½a = ½b /·2 a = b a – b = 0 Odp. C Zad. 9 Poparcie dla partii x: III.2008 wyniosło 24% IX 2008 wyniosło 30% Poparcie wzrosło o 30% - 24% = 6%, czyli 6 punktów procentowych x to procent wzrostu poparcia x · 24% = 6% 0,24x = 0,06 /·100 24x = 6 /:24 [latex]x = frac{6}{24} = frac{1}{4} = frac{25}{100} = 25 \% [/latex] Odp. B Zad. 10 A. |x - 1| ≤ 4 x – 1 ≤ 4 i x – 1 ≥ - 4 x ≤ 5 i x ≥ - 3 x ∈ <- 3; 5> B. |x-1| ≥ 3 x – 1 ≥ 3 lub x – 1 ≤ - 3 x ≥ 4 lub x ≤ - 2 x ∈ (-∞; - 2> u <4; +∞) C. |x + 1| ≥ 5 x + 1 ≥ 5 lub x + 1 ≤ - 5 x ≥ 4 lub x ≤ - 6 x ∈ (-∞; -6) u (4; +∞) D. |x - 1| ≤ 3 x - 1 ≤ 3 i x - 1 ≥ - 3 x ≤ 4 i x ≥ - 2 x ∈ <- 2; 4> Odp. D Zad. 11 [latex]|x - 1| = left { {{x-1 dla x geq 1} atop {-x+1 dla x<1}} ight[/latex] [latex]|1-x| = left { {{1-x dla x leq 1} atop {-1+x dla x>1}} ight [/latex] [latex]|x | = left { {{x dla x geq 0} atop {-x dla x<0}} ight[/latex] -1 < x < 0 [latex]frac{|x-1| + |x| - |1-x|}{-|x|} = frac{-x+1+(-x) - (1-x)}{-(-x)} = frac{-x+1-x-1+x }{x} = frac{-x}{x} =-1 [/latex] Odp. D Zad. 12 [latex]x - frac{x-3}{4} = 0 / cdot 4[/latex] 4x - (x - 3) = 0 4x – x + 3 = 0 3x = -3 /:3 x = - 1 Odp. C Zad. 13 |x + 3| > 1 x + 3 > 1 lub x + 3 < - 1 x > - 2 lub x < - 4 x ∈ (-∞; - 4) u (- 2; +∞) Odp. D Zad. 14 3x – y – 4 = 0 - y = - 3x + 4 /·(- 1) y = 3x – 4 0,6x - 0,2y = 0,8 /·10 6x – 2y = 8 - 2y = - 6x + 8 /:(- 2) y = 3x – 4 czyli proste pokrywają się Odp. B Zad. 15 A = (-1; 5), B = (1; 3) a – bok kwadratu [latex]a = |AB| =sqrt{(1+1)^2(3-5)^2} = sqrt{2^2+(-2)^2} = sqrt{4+4} = sqrt{8} = sqrt{4 cdot 2} = 2sqrt{2}[/latex] [latex]P = a^2 = (2sqrt{2})^2 = 4 cdot 2 = 8[/latex] Odp. B Zad. 16 a = 3 cm b = 6 cm c = ? z tw. Pitagorasa c² = a² + b² c² = 3² + 6² c² = 9 + 36 c²= 45 c = √45 = √9·5 = 3√5 cm [latex]sin alpha = frac{3}{3sqrt{5}} = frac{1}{sqrt{5}} [/latex] [latex]cos alpha = frac{6}{3sqrt{5}} = frac{2}{sqrt{5}} = frac{2 cdot sqrt{5}}{sqrt{5} cdot sqrt{5}} = frac{2 cdot sqrt{5}}{5}[/latex] [latex]tg alpha = frac{3}{6} = frac{1}{2} [/latex] [latex]ctg alpha = frac{6}{3} =2[/latex] Odp. B Zad. 17 2 cos α = 1 /:2 cos α = ½ α = 60° Odp. D Zad. 18 Wzór skróconego mnożenia a³– b³ = (a – b)(a² + ab + b²) x³ – 8 = x³ – 2³ = (x – 2)(x² + 2x + 4) Odp. C Zad. 19 [latex]frac{2frac{1}{3}}{3frac{1}{2}} : (-frac{1}{3}) = (frac{7}{3} : frac{7}{2}) cdot (-frac{3}{1}) =(frac{7}{3} cdot frac{2}{7}) cdot (-frac{3}{1})=frac{2}{3} cdot (-frac{3}{1})=-2[/latex] A - ⅔ > - 2 B ⅔ > - 2 C - ⁹/₂ = - 4½ < - 2 D ½ > - 2 Odp. C Zad. 20 1. 625 – 0,8 · 625 = 625 – 500 = 125 2. 125 – 0,8 · 125 = 125 – 100 = 25 3. 25 – 0,8 · 25 = 25 – 20 = 5 4. 5 – 0,8 · 5 = 5 – 4 = 1 5. 1 Odp. C Zad. 21 x = 0,(9) x = 0,9(9) /·10 10x = 9,(9) 10x – x = 9,(9) – x 9x = 9,(9) – 0,(9) 9x = 9 /:9 x = 1 0,(9) = 1 x = 0,1(2) x = 0,12(2) /·10 10x = 1, 2(2) 10x - x = 1,2(2) – 0,1(2) 9x = 1,1 /·10 90x = 11 /:90 x = ¹¹/₉₀ 0,1(2) = ¹¹/₉₀ 0,(9) + 0,1(2) = 1 + ¹¹/₉₀ = ⁹⁰/₉₀ + ¹¹/₉₀ = ¹⁰¹/₉₀ Odp. B Zad. 22 [latex]2sqrt{12} - sqrt{27} = 2sqrt{4 cdot 3} - sqrt{9 cdot 3} = 4sqrt{3} - 3sqrt{3} = sqrt{3} = 3^{frac{1}{2}}[/latex] Odp. A Zad. 23 I sposób 3+5+7 = 15 10:15 = ¹⁰/₁₅ = ⅔ a = 3 · ⅔ = 2 m b = 5 · ⅔ = ¹⁰/₃ = 3⅓ m c = 7 · ⅔ =¹⁴/₃ = 4⅔ m II sposób a+b+c = 10 [latex]frac{a}{b} = frac{3}{5}[/latex] 5a = 3b /:5 a = ³/₅b = 0,6b [latex]frac{b}{c} = frac{5}{7}[/latex] 5c = 7b /:5 c = ⁷/₅ b = 1,4b 0,6b + b + 1,4b = 10 3b = 10 /:3 b = ¹⁰/₃ = 3⅓ m a = ³/₅ · ¹⁰/₃ = 2 m c = ⁷/₅ · ¹⁰/₃ = ¹⁴/₃ = 4⅔ m Odp. D Zad. 24 [latex]5^{frac{4}{3}} cdot sqrt[3]{5^5} = 5^{frac{4}{3}} cdot 5^{frac{5}{3}} = 5^{frac{9}{3}} = 5^3[/latex] Odp. D Zad. 25 [latex]frac{21-12sqrt{3}}{(2sqrt{3} -3)^2} =frac{21-12sqrt{3}}{12-12sqrt{3} +9} = frac{21-12sqrt{3}}{21-12sqrt{3}} = 1 ot in NW[/latex] Odp. A Zad. 26 [latex]-frac{3}{5} sqrt{3} < k < frac{4}{5}sqrt{3}[/latex] [latex]-sqrt{frac{9}{25} cdot 3} < k < sqrt{frac{16}{25} cdot 3}[/latex] [latex]-sqrt{frac{27}{25}} < k < sqrt{frac{48}{25} }[/latex] [latex]-sqrt{1,08} < k < sqrt{1,92}[/latex] [latex]-1 > -sqrt{1,08} < k < sqrt{1,92} > 1[/latex] [latex]-1 leq k leq 1[/latex] k ∈ C, czyli k = {-1; 0; 1} Odp. k = -1 v k = 0 v k = -1 Zad 27 [latex]frac{8^{-frac{1}{3}} cdot (2^{sqrt{5}})^{sqrt{5}}}{(0,25)^{-1} : 32} = frac{frac{1}{sqrt[3]{8}} cdot 2^5}{4 : 32}= frac{frac{1}{2} cdot 2^5}{frac{1}{8}} =frac{2^4}{2^{-3}} = 2^7[/latex] Odp. 2⁷ Zad. 28 A = (-3; 4), B = (0; -2), C = (1; 2) a) Gdy dane są dwa różne punkty (x₁; y₁) i (x₂; y₂), to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci: (y – y₁)(x₂ – x₁) – (y₂ – y₁)(x – x₁) = 0 Równanie prostej AC: (y - 4)(1 + 3) – (2 – 4)(x + 3) = 0 4(y – 4) – (– 2)(x + 3) = 0 4y – 16 – (– 2x – 6) = 0 4y – 16 + 2x + 6 = 0 4y – 10 + 2x = 0 4y = - 2x + 10 /: 4 y = - ½x + 2½ b) Równanie prostej zawierającej wysokość prowadzoną z wierzchołka B, to równanie prostej prostopadłej do prostej AC przechodzącej przez punkt B Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi, czyli prosta prostopadła do prostej y = ax + b ma równanie postaci: [latex]y = -frac{1}{a}x + b_1[/latex] Dana jest prosta y = - ½x + 2½ , (a = - ½), równanie prostej prostopadłej ma postać: y = 2x + b₁. Prosta ta przechodzi przez punkt B = (0; -2), czyli współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej, stąd otrzymujemy: - 2 = 2·0 + b₁ b1 = - 2, zatem szukana prosta ma równanie: y = 2x – 2 Zad. 29 hm – wysokość masztu cm - długość cienia masztu hb – wysokość budynku cb – długość cienia budynku hm = 5 m cm = 7,5 m hb = x cb = 36 m a) [latex]frac{c_m}{h_m} = frac{c_b}{h_b}[/latex] [latex]frac{7,5}{5} = frac{36}{x}[/latex] 7,5x = 5·36 7,5x = 180 /:7,5 x = 24 m Odp. Budynek ma 24 m wysokości b) [latex]tg alpha = frac{5}{7,5} = frac{2}{3}[/latex] α ≈34° Zad. 30 sin α = ³/₇ [latex]sqrt{tg^2 alpha +1}=sqrt{(frac{sin alpha}{cos alpha})^2 +1}=sqrt{frac{sin^2 alpha}{cos^2 alpha} +1} = sqrt{frac{sin^2 alpha}{1 - sin^2 alpha} +frac{1-sin^2 alpha}{1 - sin^2 alpha} } = [/latex] [latex]= sqrt{frac{sin^2 alpha+1-sin^2 alpha}{1 - sin^2 alpha}} = sqrt{frac{1}{1 - sin^2 alpha}} = sqrt{frac{1}{1 - (frac{3}{7})^2}} = sqrt{frac{1}{1 - frac{9}{49}}} = [/latex] [latex]= sqrt{frac{1}{frac{49}{49} - frac{9}{49}}} = sqrt{frac{1}{frac{40}{49}}} = sqrt{frac{49}{40}} = frac{7}{sqrt{4 cdot 10}} = frac{7}{2 cdot sqrt{10}} =[/latex] [latex]= frac{3,5 cdot sqrt{10}}{ sqrt{10} cdot sqrt{10}} = frac{3,5 cdot sqrt{10}}{10} = 0,35 cdot sqrt{10}[/latex] Zad. 31 P₁ – pole wielokąta F₁ P₂ – pole wielokąta F₂ k – skala podobieństwa F₂ podobny do F₁ P₁ = 20 cm² k = ½ P₂ / P₁ = k² P₂/ 20 = (½)² P₂/ 20 = ¼ /·20 P₂ = 5 cm² Odp. Pole drugiego wielokąta wynosi 5 cm². Zad. 32 x + y = 7 y = 7 - x z tw. Talesa [latex]frac{x}{4} = frac{y}{8}[/latex] 8x = 4y 8x = 4·(7-x) 8x = 28 – 4x 8x+4x = 28 12x = 28 /:12 x = ²⁸/₁₂ x = ⁷/₃ x = 2⅓ y = 7 - ⁷/₃ = ²¹/₃ - ⁷/₃ = ¹⁴/₃ = 4⅔ [latex]frac{x+y}{x+y+z} = frac{4+8}{4+8+6}[/latex] [latex]frac{7}{7+z} = frac{12}{18}[/latex] [latex]frac{7}{7+z} = frac{2}{3}[/latex] 2·(7+z) = 7·3 14 + 2z = 21 2z = 21 - 14 2z = 7 /:2 z = ⁷/₂ = 3½ Zad. 33 2n-2, 2n, 2n+2 – kolejne liczby parzyste 2n·(2n-2) +112 = (2n+2)² 4n²– 4n + 112 = 4n² + 8n + 4 4n² – 4n - 4n² - 8n = 4 – 112 - 12n = - 108 /:(-12) n = 9 2n – 2 = 2·9 – 2 = 18 – 2 = 16 2n = 2·9 = 18 2n + 2 = 2·9 + 2 = 18 + 2 = 20 16·16 = 288 20²= 400 400 – 288 = 112 Odp. Szukane liczby to 16, 18, 20. Zad. 34 a – dłuższy bok równoległoboku b – krótszy bok równoległoboku O – obwód równoległoboku P – pole równoległoboku a = 4√2 cm [latex]cos 45^o = frac{b}{4sqrt{2}}[/latex] [latex]frac{sqrt{2}}{2} = frac{b}{4sqrt{2}}[/latex] 2b = √2 · 4√2 2b = 8 /:2 b = 4 cm O = 2a + 2b O = 2 · 4√2 + 2 · 4 = 8√2 + 8 = 8·(√2 + 1) cm Pole równoległoboku będzie równe sumie dwóch pól trójkąta prostokątnego równoramiennego (krótszy bok oraz krótsza przekątna mają długość b), zatem P = 2 · ½·b·b = b² P = 4² = 16 cm2 Odp. Obwód równoległoboku wynosi 8·(√2 + 1) cm, a jego pole 16 cm².
