[latex]lvertfrac{(x-1)^2}{(x-2)^2} vert+frac{|x-1|}{|x-2|}-12<0[/latex] W pierwszym wyrażeniu mamy parzyste potęgi, więc nie otrzymamy wartości ujemnej, stąd możemy usunąć wartość bezwzględną [latex]frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}+frac{|x-1|}{|x-2|}-12<0[/latex] Teraz przeanalizujemy 3 przedziały: 1. [latex]x<1[/latex] 2. [latex]xin{[1,2]}[/latex] 3. [latex]x>2[/latex] Przedział 1. ([latex]x<1[/latex]) [latex]frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}+frac{-(x-1)}{-(x-2)}-12<0[/latex] [latex]frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}+frac{(x-1)}{(x-2)}-12<0[/latex] mnożymy wszystko razy [latex](x-2)^2[/latex] [latex](x-1)^2+(x-1)(x-2)-12(x-2)^2<0[/latex] [latex]x^2-2x+1+x^2-3x+2-12(x^2-4x+4)<0[/latex] [latex]x^2-2x+1+x^2-3x+2-12x^2+48x-48<0[/latex] [latex]-10x^2+43x-45<0[/latex] [latex]Delta=43^2-4 cdot (-10) cdot (-45) = 1849 - 1800 = 49[/latex] [latex]sqrtDelta=7[/latex] [latex]x_1=frac{-43-7}{-20}=frac{-50}{-20}=frac{5}{2}[/latex] [latex]x_2=frac{-43+7}{-20}=frac{-36}{-20}=fraC{9}{4}[/latex] Funkcja ma ujemny współczynnik przy [latex]x^2[/latex], dlatego też wartości ujemne będzie miała w przedziałach: [latex](-infty,frac{9}{4}) igcup (frac{5}{2},infty)[/latex] Ponieważ interesuje nas tylko przedział 1. czyli ([latex]x<1[/latex]), to wyznaczamy część wspólną z naszych rozwiązań i wyjdzie nam cały przedział 1. Czyli ([latex]x<1[/latex]) Przedział 2. ([latex]xin{[1,2]}[/latex]) Wtedy: [latex]x-1 geq 0[/latex], więc znaku nie zmieniamy i [latex]x-2 leq 0[/latex], więc znak zmieniamy [latex]frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}+frac{x-1}{-(x-2)}-12<0[/latex] [latex]frac{(x-1)^2}{(x-2)^2}-frac{x-1}{x-2}-12<0[/latex] mnożymy wszystko razy [latex](x-2)^2[/latex] [latex](x-1)^2-(x-1)(x-2)-12(x-2)^2<0[/latex] [latex]x^2-2x+1-(x^2-3x+2)-12(x^2-4x+4)<0[/latex] [latex]x^2-2x+1-x^2+3x-2-12x^2+48x-48[/latex] [latex]-12x^2+49x-49<0[/latex] [latex]Delta=49^2-4 cdot (-12) cdot (-49) = 49 cdot 49 - 48 cdot 49 = 49(49-48)=49 [/latex] [latex]sqrtDelta=sqrt{49}=7[/latex] [latex]x_1=frac{-49-7}{-24}=frac{-56}{-24}=frac{7}{3}[/latex] [latex]x_2=frac{-49+7}{-24}=frac{-42}{-24}=frac{7}{5}[/latex] Funkcja ma ujemny współczynnik przy [latex]x^2[/latex], dlatego też wartości ujemne będzie miała na przedziałach: [latex](-infty,frac{7}{5}) igcup (frac{7}{3},infty)[/latex] Ponieważ interesuje nas tylko przedział 2. czyli ([latex]xin{[1,2]}[/latex]), to wyznaczamy część wspólną naszych rozwiązań: [latex]((-infty,frac{7}{5}) igcup (frac{7}{3},infty)) igcap xin{[1,2]} = xin{[1,frac{7}{5})} [/latex] Przedział 3. [latex]x>2[/latex] Rozwiązanie 3-go będzie dokładnie takie jak pierwszego. (czyli: [latex](-infty,frac{9}{4}) igcup (frac{5}{2},infty)[/latex] Trzeba tylko wyznaczyć jeszcze część wspólną z przedziałem: [latex]x>2[/latex] i otrzymamy sumę dwóch przedziałów: [latex]xin{(2,frac{9}{4})} igcup xin{(frac{5}{2},infty)}[/latex] Teraz sumujemy nasze 3 przedziały i mamy rozwiązanie zadania: [latex]x<1 igcup xin{[1,frac{7}{5})} igcup xin{(2,frac{9}{4})} igcup xin{(frac{5}{2},infty)} [/latex] łączymy dwa pierwsze przedziały i mamy ostateczną odpowiedź: [latex]xin{(-infty,frac{7}{5})} igcup xin{(2,frac{9}{4})} igcup xin{(frac{5}{2},infty)} [/latex]
