[latex]lim_{n o infty} frac{1}{4^1+1!}+frac{1}{4^2+2!}+...+frac{1}{4^n+n!}[/latex] Proszę obliczyć taką granicę - krok po kroku (proszę opisać użyte twierdzenia, specyficzne przekształcenia itd.)

Te wyrażenie można zapisać jako [latex]sum_{n=1}^{infty}={frac{1}{4^n cdot n!}}[/latex]   Dalej rozpisując:   Te wyrażenie można zapisać jako [latex]sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{4^n cdot n!}}=sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{4^n} cdot frac{1}{n!}}=sum_{n=1}^{infty}{(frac{1}{4})^n cdot frac{1}{n!}}=sum_{n=1}^{infty}{frac{(1/4)^n}{n!}}[/latex]   A ten ostatni wzór już dużo mówi bo [latex]sum_{n=0}^{infty}{frac{x^n}{n!}=e^x[/latex]   W naszym przykładzie [latex]x=frac{1}{4}[/latex] i dodatkowo zamiast n=0 jest n=1, a więc ta wartość będzie pomniejszkona o 1, czyli   [latex]sum_{n=1}^{infty}{frac{(1/4)^n}{n!}}=e^{frac{1}{4}}-1[/latex]