Rozwiązanie w załącznikach.
Do rozwiązania tych zadań wykorzystamy zależności między bokami w trójkącie prostokątnym: W trójkącie prostokątnym o kątach 45°, 45°, 90° jeśli przyprostokątne mają długość x to przeciwprostokątna mają długość √2x. W trójkącie prostokątnym o kątach 30°, 60°, 90° jeśli przeciwprostokątna ma długość x to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° ma długość ½x, a przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 60° ma długość [latex]frac{sqrt{3}x}{2}[/latex] Zad. 1 |CD| = 8 ΔADC - trójkąt prostokątny o kątach 45°, 45°, 90°, zatem |AD| = |CD| = 8 |AC| = 8√2 ΔBDC - trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90°, zatem |BC| = x [latex]frac{sqrt{3}x}{2} = 8[/latex] [latex]x = frac{16}{sqrt{3}} = frac{16sqrt{3}}{3} [/latex] [latex]|BC| =frac{16sqrt{3}}{3} [/latex] |BD| = ½|BC| [latex]|BD| = frac{1}{2} cdot frac{16sqrt{3}}{3} = frac{8sqrt{3}}{3} [/latex] ObwΔABC = |AD| + |BD| + |BC| + |AC| [latex]ObwDelta ABC = 8 + frac{8sqrt{3}}{3} + frac{16sqrt{3}}{3} + 8sqrt{2} = 8 cdot (1 + frac{sqrt{3}}{3} + frac{2sqrt{3}}{3} + sqrt{2}) = [/latex] [latex]= 8 cdot (1 + frac{sqrt{3}+2sqrt{3}}{3} + sqrt{2}) = 8 cdot (1 + frac{3sqrt{3}}{3} + sqrt{2}) = 8 cdot (1 + sqrt{3} + sqrt{2}) [/latex] Zad. 2 Przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów i dzielą się na połowy pod kątem prostym, a ponadto przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne. Z jednego z tych trójkątów obliczymy długość a boku rombu. Zgodnie z treścią zadanie będzie to Δ prostokątny o kątach 30°, 60°, 90° (dłuższa przekątna podzieliła kąt ostry rombu o mierze 60° na dwa katy po 30°). Zatem jesli naprzeciw kąta o mierze 60° jest przyprostokątą o długości 4 cm (połowa dłuższej przekatnej) to: [latex]frac{sqrt{3}a}{2} = 4[/latex] [latex]a = frac{8}{sqrt{3}} = frac{8sqrt{3}}{3} [/latex] Odp. Bok rombu ma długość: [latex]frac{8sqrt{3}}{3} cm[/latex]
