[latex]a_n=frac{n^2-5n+4}{n}; n in N_+[/latex] a) [latex]a_n = 0[/latex] [latex]frac{n^2-5n+4}{n} = 0 / cdot n[/latex] [latex]n^2-5n+4 = 0[/latex] [latex]Delta = (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot 4 = 25 - 16 = 9; sqrt{Delta} = 3[/latex] [latex]n_1 = frac{5 - 3}{2} = frac{2}{2} = 1[/latex] [latex]n_2 = frac{5 + 3}{2} = frac{8}{2} = 4[/latex] Odp. Wyraz a₁ i a₄ ciągu (an) są równe zero. b) [latex]a_n > 0[/latex] [latex]frac{n^2-5n+4}{n} > 0[/latex] Rozwiązujemy nierówność wymierną [latex](n^2-5n+4) cdot n > 0[/latex] Na podstawie rozwiązania równania z przykładu a) otrzymujemy: [latex]n cdot (n - 1)(n - 4) > 0[/latex] stąd n = 0, n = 1, n = 4 Tworzymy tabelkę (siatkę znaków) [latex]egin{tabular}{|r|c|c|c|c|} hline n & (-infty; 0) & (0; 1) & (1; 4) & (4; +infty) \ hline n & X & X & + & + \ hline n - 1 & X & X & + & + \ hline n - 4 & X & X & - & + \ hline iloczyn & X & X & - & + \ hline end{tabular} [/latex] X w tabelce oznacza, że w tym przedziale nie określamy wartości, bo n do tego przedziału nie należy (n ∈ N₊) Z powyższej tabelki (siatki znaków) odczytujemy, że nierówność jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy n ∈ (4; +∞) Odp. Wyrazy ciągu (an) są dodatnie dla n ∈ (4; +∞), czyli n > 4. c) [latex]a_n=frac{n^2-5n+4}{n} = frac{n^2}{n} - frac{5n}{n} + frac{4}{n} = n - 5 + frac{4}{n} [/latex] Ta suma będzie liczbą całkowitą, gdy ułamek 4/n będzie liczbą całkowitą, czyli dla dzielników liczby 4, którymi są liczby 1, 2 i 4. Odp. Wyrazy a₁, a₂ i a₄ ciągu (an) są całkowite.
